Chuyên đề mặt nón tròn xoay

Bán kính đáy của hình nón là \(r = \sqrt {{l^2} - {h^2}} = \sqrt {{{25}^2} - {{15}^2}} = 20.\)
Thể tích khối tròn xoay là \(V = \frac{1}{3}\pi {r^2}h = \frac{1}{3}.\pi {.20^2}.15 = 2000\pi .\)

 

Ta có \(l = 2R\) và \(S = 9\pi \Leftrightarrow \pi {R^2} = 9 \Leftrightarrow R = 3\)
\(\Rightarrow h = AO = \sqrt {{6^2} - {3^2}} = 3\sqrt 3\)
Suy ra \(h = AO = \sqrt {4{R^2} - {R^2}} = 3.\)

 

Gọi J là trọng tam tam giác ABC, suy ra I cũng là tâm đường tròn ngoài tiếp tam giác ABC.
Gọi d1 là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC suy ra d1 qua J và vuông góc (ABC).
Gọi L là trung điểm của SB, suy ra L là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SBC vuông tại C.
Gọi d2 là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC suy ra d2 qua L và vuông góc (SBC).
Tâm mặt cầu ngoài tiếp hình chóp S.ABC chính là giao điểm của d1 và d2
Ta có IJKL là hình chữ nhật nên \(JK = IL = \frac{{SC}}{2} = 1.\)
Xét tam giác AJK vuông tại J: \(AK = \sqrt {K{J^2} + A{J^2}} = \sqrt {1 + {{\left( {\frac{2}{3}.3.\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}} = 2\,\,cm\)
Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp là: \(R = AK = 2.\)

 

Ta có: \(AC = AB = a \Rightarrow BC = a\sqrt 2\)
\(DC = r = \frac{{BC}}{2} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)
Thể tích của khối nón là: \(V = \frac{1}{3}\pi {r^2}h = \frac{1}{3}\pi {\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^2}.\frac{{\sqrt 2 }}{2} = \frac{{\sqrt 2 }}{{12}}\pi {a^3}\)

 

\(\begin{array}{l} R = DC = AC\sin {60^0} = a\frac{{\sqrt 3 }}{2}\\ {S_{xq}} = \pi Rl = \pi \frac{{\sqrt 3 }}{2}.a.a = \frac{{\pi {a^2}\sqrt 3 }}{2} \end{array}\)

 

Gọi a, b lần lượt là độ dài 2 cạnh góc vuông của tam giác vuông đã cho.
Khi đó \({V_1} = \frac{1}{3}\pi {a^2}b = \frac{{8\pi \sqrt 3 }}{3};{V_2} = \frac{1}{3}\pi a{b^2} = 8\pi \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{a^2}b = 8\sqrt 3 }\\ {a{b^2} = 24} \end{array}} \right.\)
\(\Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{a^2}b = 8\sqrt 3 }\\ {\frac{a}{b} = \frac{1}{{\sqrt 3 }}} \end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {b = a\sqrt 3 }\\ {{a^3} = 8} \end{array}} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a = 2}\\ {b = 2\sqrt 3 } \end{array} \Rightarrow \sqrt {{a^2} + {b^2}} = 4} \right..\)

 

Thiết diện qua trục là tam giác ABC vuông cân tại A có:
\(S = \frac{1}{2}.A{B^2} \Rightarrow AB = \sqrt {2S} \Rightarrow BC = 2\sqrt S\)
Bán kính đường tròn đáy của khối nón là \(r = \frac{{BC}}{2} = \sqrt S\) và chiều cao của khối nón là \(h = \frac{{BC}}{2} = \sqrt S\)
Vậy thể tích của khối nón cần tính là \(V = \frac{1}{3}.\pi {r^2}h = \frac{1}{3}\pi {(\sqrt S )^2}.\sqrt S = \frac{1}{3}\pi {(\sqrt S )^3}.\)

 

Khi quay tam giác ABC quanh trục AH ta được khối nón có bán kính \(r = \frac{{BC}}{2} = \frac{a}{2}\)
Và chiều cao của khối nón là \(h = AH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)
Vậy thể tích khối nón cần tính là \(V = \frac{1}{3}.\pi {r^2}h = \frac{{\pi {a^3}\sqrt 3 }}{{24}}\)

 

Hình nón có thiết diện qua trục là tam giác đều nên nó có chiều dài đường sinh là a bán kính đường tròn đáy là \(\frac{a}{2}\) nên chiều cao \(h = \sqrt {{a^2} - {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}a.\)

 

Kẻ đường cao AH của ∆ABC khi quay quanh đường thẳng BC miền tam giác ABC sinh ra hai khối nón chung đáy, bán kính đáy là R = AH và chiều cao lần lượt là HB và HC.
Ta có: \(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}} = \frac{1}{{16{a^2}}} + \frac{1}{{9{a^2}}} = \frac{{25}}{{144{a^2}}}.\)
Suy ra \(A{H^2} = \frac{{25}}{{144{a^2}}}.\)
Thể tích khối tròn xoay sinh ra là:
\(V = {V_1} + {V_2} = \frac{1}{3}\pi A{H^2}.\left( {HB + HC} \right) = \frac{1}{3}\pi .\frac{{144{a^2}}}{{25}}.5a = \frac{{144\pi {a^2}}}{{15}}.\)
\(\left( {HB + HC = BC = 5a} \right).\)

 

Gọi I là trọng tam của tam giác ABC.
Ta có IS = IA = IB = IC = \(\frac{{a\sqrt 3 }}{3}\) nên I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.
Vậy diện tích mặt cầu ngoài tiếp khối chóp là:
\(V = 4\pi {R^2} = \frac{4}{3}\pi {a^2}\)

 

Ta có SAC và SBD là các tam giác đều.
Gọi I là trọng tâm tam giác đều SAC, thì ta cũng dễ dàng chứng minh được I là trọng tâm tam giác đều SBD.
Ta có: IA = IC = IB = ID = IS
Nên I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.
Do SAC đều nên AC = SA = SC = \(a\sqrt 2\)
Suy ra: \(SO = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}\)
Vậy: \(R = IS = \frac{2}{3}SO = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}\)

 

Dễ dàng chững minh được hai tam giác SCA, SCB đều là những tam giác vuông và nhận SC làm cạnh huyền.
\(SC = \sqrt {S{A^2} + A{C^2}} = 10a\)
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là: \(R = 5a\)
Vậy diện tích mặt cầu là: \(S = 4\pi {R^2} = 100\pi {a^2}\)

 

Gọi I là trung điểm của OO’, ta dễ dàng chứng minh được OA = OB = OC = OA’ = OB’= OC’
Nên I chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ ABC.A’B’C’.
Ta có: \(R = A'I = \sqrt {O'A{'^2} + IO{'^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2} + {a^2}} = \frac{{2a\sqrt 3 }}{3}\)

 

Ta có: ABC và A’B’C’ lần lược vuông tại A và A’.
Nên đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABC và A’B’C’ lần lượt là đường tròn tâm 0 bán kính OB và tâm O’ bán kính O’B’ với O, O’ lần lượt là trung điểm BC và B’C’.
Hình trụ có hai đáy ngoại tiếp hai tam giác ABC và A’B’C’ có bán kính đáy: \({R_1} = OB = 3\), đường cao \({h_1} = AA' = 8\)
Vậy thể tích là: \({V_1} = \pi {R_1}^2{h_1} = 72\pi\)
Mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ có tâm là trung điểm của OO’, bán kính: \({R_2} = 5\)
Vậy thể tích là: \({V_2} = \frac{4}{3}\pi {R^3} = \frac{{500}}{3}\pi\)
Vậy: \(\frac{{{V_2}}}{{{V_1}}} = \frac{{125}}{{54}}\)

 

Ta có tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật trùng với tâm đối xứng của hình hộp. Như hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có tâm là I, là trung điểm của AC’, bán kính \(r = \frac{{AC'}}{2}\)

Tam giác A'C'A vuông tại A'
\(\Rightarrow AC' = \sqrt {AA{'^2} + A'{C^2}} = \sqrt {{c^2} + A'C{'^2}} \,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)
Mặt khác tam giác A'D'C' vuông tại D'
\(\Rightarrow A'C' = \sqrt {A'D{'^2} + D'C{'^2}} = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \,\,\,\left( 2 \right)\)
Từ (1) và (2) ta có \(r = \frac{1}{2}.\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}}\). Đáp án A.

 

Đặt BC = a, ta có: \(HC = \frac{a}{2};\,\,BH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)
\(\cos {15^0} = \frac{{BH}}{{AB}} = \frac{{\sqrt 6 + \sqrt 2 }}{4}a \Rightarrow AB = \frac{{ - \sqrt 6 + 3\sqrt 2 }}{2}a;\,\,AH = \frac{{ - 3 + 2\sqrt 3 }}{2}a \Rightarrow AC = a\left( {\sqrt 3 - 1} \right)\)
\(S = \frac{{abc}}{{4R}} = \frac{1}{2}\left( {\sqrt 3 - 1} \right){a^2}.\sin {60^0} = \frac{{\sqrt 3 }}{4}\left( {\sqrt 3 - 1} \right){a^2} = \frac{{{a^3}\left( {2\sqrt 6 - 3\sqrt 2 } \right)}}{{4R}} \Rightarrow R = a\frac{{\sqrt 6 - \sqrt 2 }}{2}\)
\( \Rightarrow a = R.\frac{{\sqrt 6 + \sqrt 2 }}{2}\)
\( \Rightarrow {S_{xq}} = \pi \frac{a}{2}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \pi \frac{{\sqrt 3 }}{4}.{\left( {\frac{{\sqrt 6 + \sqrt 2 }}{2}} \right)^2}.{R^2} = \pi {R^2}\frac{{3 + 2\sqrt 3 }}{2}.\)

 

Diện tích xung quanh hình nón là \({S_{xq}} = \pi .3.12 = 36\pi c{m^2}.\)

 

Bán kính đáy hình nón là: R = 1.
Độ dài đường sinh của hình nón là: \(l = \sqrt {{h^2} + {R^2}} = \sqrt {{2^2} + {1^2}} = \sqrt 5 \).
Diện tích xung quanh của hình nón là: \({S_{xq}} = \pi Rl = \pi .1.\sqrt 5 = \sqrt 5 \pi \).

 

Thể tích khối tròn xoay sinh ra gồm 2 phần.
Phần 1: là hình trụ có bán kính đáy r = 6 và chiều cao h = 2
Phần 2: là hình nón cụt có \({r_1} = 6;{r_2} = 3;h = 2\)
Khi đó \({V_1} = \pi {6^2}.2;{V_2} = \frac{1}{3}\pi \left( {{S_1} + \sqrt {{S_1}.{S_2}} + {S_2}} \right) = \frac{\pi }{3}\left( {\pi r_1^2 + \pi {r_1}{r_2} + \pi r_2^2} \right)\)
Suy ra \(V = {V_1} + {V_2} = 72\pi + 42\pi = 114\pi \).