Hãy đăng ký thành viên để có thể dễ dàng hỏi bài, trao đổi, giao lưu và chia sẻ về kiến thức

Chuyên đề mặt nón tròn xoay

Thảo luận trong 'Bài 6. Mặt nón tròn xoay' bắt đầu bởi Huy Hoàng, 22/1/15.

  1. Huy Hoàng

    Huy Hoàng Guest

    1/ Mặt nón tròn xoay
    Chuyên đề mặt nón tròn xoay.png
    Trong mặt phẳng (P), cho 2 đường thẳng d, Δ cắt nhau tại O và chúng tạo thành góc β với 0 < β < 90$^0$. Khi quay mp(P) xung quanh trục Δ với góc β không thay đổi được gọi là mặt nón tròn xoay đỉnh O (hình 1).
     Người ta thường gọi tắt mặt nón tròn xoay là mặt nón.
     Đường thẳng Δ gọi là trục, đường thẳng d được gọi là đường sinh và góc 2β gọi là góc ở đỉnh.

    2/ Hình nón tròn xoay
    Chuyên đề mặt nón tròn xoay.png
    Cho ΔOIM vuông tại I quay quanh cạnh góc vuông OI thì đường gấp khúc OIM tạo thành một hình, gọi là hình nón tròn xoay(gọi tắt là hình nón) (hình 2).
     Đường thẳng OI gọi là trục, O là đỉnh, OI gọi là đường cao và OM gọi là đường sinh của hình nón.
     Hình tròn tâm I, bán kính r = IM là đáy của hình nón.

    3/ Công thức diện tích và thể tích của hình nón

    Cho hình nón có chiều cao là h, bán kính đáy r và đường sinh là ℓ thì có:
     Diện tích xung quanh: ${{S_{xq}} = \pi .r.l}$
     Diện tích đáy (hình tròn): ${{S_{tr}} = \pi .{r^2}}$
     Diện tích toàn phần hình tròn: S = S$_{tr}$ + S$_{xq}$
     Thể tích khối nón: ${{V_{non}} = \frac{1}{3}{S_{tr}}.h = \frac{1}{3}\pi .{r^2}.h}$.

    4/ Tính chất:

     Nếu cắt mặt nón tròn xoay bởi mặt phẳng đi qua đỉnh thì có các trường hợp sau xảy ra:
    + Mặt phẳng cắt mặt nón theo 2 đường sinh→Thiết diện là tam giác cân.
    + Mặt phẳng tiếp xúc với mặt nón theo một đường sinh. Trong trường hợp này, người ta gọi đó là mặt phẳng tiếp diện của mặt nón.
     Nếu cắt mặt nón tròn xoay bởi mặt phẳng không đi qua đỉnh thì có các trường hợp sau xảy ra:
    + Nếu mặt phẳng cắt vuông góc với trục hình nón→giao tuyến là một đường tròn.
    + Nếu mặt phẳng cắt song song với 2 đường sinh hình nón→giao tuyến là 2 nhánh của 1 hypebol.
    + Nếu mặt phẳng cắt song song với 1 đường sinh hình nón→giao tuyến là 1 đường parabol.

    5/ Một số thí dụ

    Thí dụ 1.
    Một hình nón tròn xoay có đường cao h = 20 cm, bán kính đáy r = 25 cm.
    a/ Tính diện tích xung quanh hình nón đã cho.
    b/ Tính thể tích khối nón tạo nên bởi hình nón đó.
    c/ Một thiết diện đi qua đỉnh có khoảng cách từ tâm của đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện là 12 cm. Tính diện tích thiết diện đó.
    giải
    Gọi S là đỉnh của hình nón. Mặt phẳng (P) đi qua đỉnh S cắt khối nón theo
    hai đường sinh bằng nhau SA = SB = ℓ nên ta có thiết diện là tam giác cân SAB.
    Gọi I là trung điểm của đoạn AB → OI $\bot$ AB. Từ tâm O, ta kẻ OH $\bot\ SI tại H.
    Ta có: OH $\bot$ mp(SAB) → OH = d[O,(SAB)] = 12 cm.
    Chuyên đề mặt nón tròn xoay.png
    a/ Tính diện tích xung quanh hình nón đã cho.
    * Ta có: $SA = \sqrt {A{O^2} + S{O^2}} = \sqrt {{{20}^2} + {{25}^2}} = 5\sqrt {41} \left( {cm} \right)$
    (Pitago trong tam giác vuông SAO)
    * Diện tích xung quanh của hình nón: ${S_{xq}} = \pi .r.l = \pi .OA.SA = \pi .25.5\sqrt {41} = 125\pi \sqrt {41} \left( {c{m^2}} \right)$.

    b/ Thể tích của khối nón: ${V_{non}} = \frac{1}{3}\pi .{r^2}.h = \frac{1}{3}\pi {.25^2}.20 = \frac{{12500\pi }}{3}\left( {c{m^3}} \right)$.
    c/ Tính diện tích của thiết diện S$_{SAB}$
    * Diện tích thiết diện: ${S_{\Delta SAB}} = \frac{1}{2}AB.SI = \frac{1}{2}.2IA.SI = IA.SI{\rm{ }}\left( 1 \right)$.
    * Xét tam giác vuông SOI, ta có: $\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{I^2}}} + \frac{1}{{O{S^2}}} \Rightarrow OI = 15\left( {cm} \right)$.
    * Mặt khác, xét tam giác vuông SOI thì: $OI.OS = SI.OH \Rightarrow SI = \frac{{OS.OI}}{{OH}} = \frac{{20.15}}{{12}} = 25\left( {cm} \right){\rm{ }}\left( 2 \right)$.
    * Trong tam giác vuông $AIO:IA = \sqrt {O{A^2} - O{I^2}} = \sqrt {{{25}^2} - {{15}^2}} = 20\left( {cm} \right){\rm{ }}\left( 3 \right)$.
    * Thay (2), (3) vào (1) → ${S_{\Delta SAB}} = 20.25 = 500\left( {c{m^2}} \right)$

    Thí dụ 2. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh là a. Hãy tính diện tích xung quanh và thể tích của khối nón có đỉnh là tâm O của hình vuông ABCD và đáy là hình tròn nội tiếp hình vuông A’B’C’D’.
    Giải
    Chuyên đề mặt nón tròn xoay.png
    * Khối nón có chiều cao bằng a và bán kính đáy r = a/2.
    * Diện tích xung quanh khối nón: ${S_{xq}} = \pi rl = \pi .a.\sqrt {{a^2} + {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}} = \frac{{\pi {a^2}\sqrt 5 }}{4}\left( {dvdt} \right)$
    * Thể tích của khối nón: $V = \frac{1}{3}Bh = \frac{1}{3}\pi {r^2}h = \frac{1}{2}\pi {\left( {\frac{a}{2}} \right)^2}a = \frac{1}{{12}}\pi {a^3}\left( {dvtt} \right)$.

    Thí dụ 3. Thiết diện đi qua trục của hình nón là một tam giác vuông cân có cạnh cạnh huyền bằng a√2.
    a/ Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón, giả sử nó có đỉnh là S.
    b/ Tính thể tích của khối nón tương ứng.
    c/ Cho dây cung BCcủa đường tròn đáy hình nón, sao cho mp(SBC) tạo với mặt phẳng chứa đáy hình nón một góc 60$^0$. Tính diện tích tam giác SBC.
    Giải
    Do thiết diện đi qua trục là tam giác vuông cân (ΔSAB vuông cân tại đỉnh S) có cạnh huyền bằng a√2 nên ΔSAB là nửa hình vuông với đường chéo hình vuông là AB = a√2.
    → đường sinh hình nón: ℓ = SA = SB = a, đường cao hình nón là h = SO = AB/2 = a/√2 và bán kính đáy: r = h = SO = a/√2.
    Chuyên đề mặt nón tròn xoay.png
    a/ Tính diện tích xung quanh hình nón.
    ${S_{xq}} = \pi rl = \pi .\frac{{a\sqrt 2 }}{2}.a = \frac{{\pi {a^2}\sqrt 2 }}{2}\left( {dvdt} \right)$
    Diện tích toàn phần:
    ${S_{tp}} = {S_{xq}} + {S_{tr}} = \frac{{\pi {a^2}\sqrt 2 }}{2} + \pi {r^2} = \frac{{\pi {a^2}\sqrt 2 }}{2} + \frac{{{a^2}\pi }}{2} = \frac{{\pi {a^2}\left( {1 + \sqrt 2 } \right)}}{2}$
    Thể tích khối nón tương ứng: $V = \frac{1}{3}B.h = \frac{1}{3}\pi {r^2}h = \frac{{{a^3}\pi \sqrt 2 }}{{12}}\left( {dvtt} \right)$

    b/ Tính diện tích thiết diện (S$_{ÄSBC}$
    Gọi I là trung điểm của BC và kẻ OH $\bot$ SI tại H. Đặt mặt phẳng chứa đáy hình nón là mp(á)
    Ta có:
    $\sin \widehat {SIO} = \frac{{SO}}{{SI}} \to SI = \frac{{SO}}{{\sin {{60}^0}}} = \frac{{\frac{{a\sqrt 2 }}{2}}}{{\frac{{\sqrt 3 }}{2}}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}$
    Do đó, diện tích thiết diện cần tìm là: ${S_{\Delta SBC}} = \frac{1}{2}SI.BC = \frac{1}{2}.\frac{{a\sqrt 6 }}{3}.\frac{{2a\sqrt 3 }}{3} = \frac{{{a^2}\sqrt 2 }}{3}\left( {dvdt} \right)$.

    Thí dụ 4. Mặt nón tròn xoay có đỉnh là S, O là tâm của đường tròn đáy, đường sinh bằng a√2 và góc giữa đường sinh và mặt phẳng đáy bằng 60$^0$.
    a/ Tính diện xung quanh, diện tích toàn phần của hình nón và thể tích của khối nón được tạo nên.
    b/ Gọi I là một điểm trên đường cao SO của hình nón sao cho tỉ số $\frac{{SI}}{{SO}} = \frac{1}{3}$. Tính diện tích của thiết diện qua I và vuông góc với trục của hình nón.

    giải
    Chuyên đề mặt nón tròn xoay.png
    a/ Tính diện tích xung quanh của hình nón: ${S_{xq}}$ = πrℓ = π.AO.SA (1)
    * Do AO là hình chiếu của SA lên mặt phẳng đáy, nên góc giữa đường sinh SA và mặt phẳng đáy là $\widehat {SAO} = {60^0}$.
    * Trong tam giác vuông SAO:
    $\cos {60^0} = \frac{{AO}}{{SA}} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}SA = a\sqrt 2 \\AO = SA.\cos {60^0}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
    SA = a\sqrt 2 \\AO = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\end{array} \right.{\rm{ }}\left( 2 \right)$
    * Thay(2) vào (1) $\Rightarrow {S_{xq}} = \pi .a\sqrt 2 .\frac{{a\sqrt 2 }}{2} = \pi {a^2}\left( {dvdt} \right)$.
    Diện tích toàn phần của hình nón:
    ${S_{tp}} = {S_{xq}} + {S_{tr}} = \pi {a^2} + \pi {r^2} = \pi {a^2} + \frac{{\pi {a^2}}}{2} = \frac{{3\pi {a^2}}}{2}\left( {dvdt} \right)$.
    Thể tích của khối nón tròn xoay:
    $V = \frac{1}{3}\pi {r^2}h = \frac{1}{3}\pi A{O^2}.SO = \frac{1}{3}\pi .{\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)^2}.SA.\sin {60^0} = \frac{1}{6}\pi {a^2}.a\sqrt 2 .\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{\pi {a^3}\sqrt 6 }}{{12}}{\rm{ }}\left( {dvtt} \right)$.

    b/ Tính diện tích của thiết diện
    Thiết diện qua I và vuông góc với trục của hình nón là một hình tròn có bán kính lànhư hình vẽ. Gọi diện tích của hình tròn này là S$_{td}$.
    $\begin{array}{l}\Delta SIB \sim \Delta SOA \Rightarrow \frac{{SI}}{{SO}} = \frac{{IB}}{{OA}} \Leftrightarrow IB = \frac{{SI}}{{SO}}.OA = \frac{1}{3}.\frac{{a\sqrt 2 }}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{6}\\
    \Rightarrow {S_{td}} = \pi .I{B^2} = \frac{{\pi {a^2}}}{{18}}{\rm{ }}\left( {dvdt} \right)
    \end{array}$

    Thí dụ 5. Cho hình nón đỉnh S với đáy là đường tròn tâm O, bán kính R, chiều cao của hình nón bằng 2R. Gọi I là một điểm nằm trên mặt phẳng đáy sao cho IO = 2R. Giả sử A là điểm nằm trên đường tròn (O, R) sao cho OA $\bot$ OI.
    a/ Tính diện tích xung quanh của hình nón và thể tích của khối nón tạo thành.
    b/ Gọi M là một điểm di động trên SA, IM cắt mặt nón tại điểm thứ hai là N. Chứng minh rằng N di động trên một đường thẳng cố định.
    c/ Chứng minh rằng hình chiếu K của O trên IM di động trên một đường tròn cố định đi qua trực tâm H của ΔSAI.
    Giải
    Chuyên đề mặt nón tròn xoay.png
    a/ Diện tích xung quanh của hình nón
    Trong tam giác vuông ΔSOA:
    $\begin{array}{l}SA = \sqrt {S{O^2} + O{A^2}} = \sqrt {{R^2} + 4{R^2}} = R\sqrt 5 \\ \Rightarrow {S_{xq}} = \pi rl = \pi R.R\sqrt 5 = \pi {R^2}\sqrt 5 \end{array}$
    Thể tích khối nón: $V = \frac{1}{3}\pi O{A^2}.SO = \frac{1}{3}\pi {R^2}2R = \frac{{2\pi {R^3}}}{3}$.

    b/ CMR: N di động trên một đường thẳng cố định.
    * Gọi Ω là mặt xung quanh của mặt nón đã cho và mp(α) là mặt phẳng đi qua các điểm S, A, I.
    * Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}N \in \Omega \\N \in mp\left( \alpha \right){\rm{ }}\left( {doN \in IM} \right)\end{array} \right. \Rightarrow N \in mp\left( \alpha \right) \cap \Omega $
    Vậy N di động trên đoạn SB là giao tuyến thứ hai của mp(α) và Ω ( B là giao điểm thứ hai của IA và đường tròn đáy).

    c/ CMR: Hình chiếu K của O trên IM di động trên một đường tròn cố định đi qua trực tâm H của ΔSAI.
    Dễ thấy trực tâm H của ΔSAI chính là hình chiếu vuông góc của O trên mp(SAI).
    Do $\left. {\left\{ \begin{array}{l}OH \bot \left( {SAI} \right) \Rightarrow OH \bot IM\\OK \bot IM\end{array} \right.} \right\rangle \Rightarrow IM \bot \left( {OHK} \right) \Rightarrow HK \bot IM \Rightarrow \widehat {HKI} = {90^0}$.
    Vậy,k di động trên đường tròn, đường kính IH trong mp(á). Hiển nhiên, đường tròn này đi qua H và nó là đường tròn cố định.

    Thí dụ 6. Cho hình nón tròn xoay có bán kính đáy R và chiều cao h. Trong tất cả các mặt phẳng đi qua đỉnh của hình nón, hãy xác định mặt phẳng cắt hình nón theo thiết diện có diện tích lớn nhất và tính diện tích lớn nhất đó.
    Giải
    Chuyên đề mặt nón tròn xoay.png
    Giả sử AB là một đường kính của đường tròn đáy hình nón,O là tâm đáy. Mặt phẳng qua đỉnh của hình nón cắt hình nón theo thiết diện là tam giác cân SAM có: $SA = SM = \sqrt {{h^2} + {R^2}} $ (không đổi).
    Ta có: ${S_{\Delta ASM}} = \frac{1}{2}SA.SM.\sin \widehat {ASM} = \frac{1}{2}S{A^2}.\sin \alpha = \frac{1}{2}\left( {{h^2} + {R^2}} \right)\sin \alpha {\rm{ }}\left( {voi:\alpha = \widehat {ASM}} \right)$
    Do đó, ${S_{\Delta ASM}}$ lớn nhất khi và chỉ khi siná lớn nhất.
    Vậy:
    *Nếu $\widehat {ASB} < {90^0}$, nghĩa là h > R thì siná lớn nhất khi $\sin \alpha = \sin \widehat {ASB}$, lúc đó: $\max {S_{\Delta SAM}} = h.R$.
    *Nếu $\widehat {ASB} \ge {90^0}$, nghĩa là $h \le R$ thì siná lớn nhất bằng 1, lúc đó: $\max {S_{\Delta SAM}} = \frac{1}{2}\left( {{h^2} + {R^2}} \right)$.

    6/ Bài tập rèn luyện
    Bài 1. Cho khối nón tròn xoay có đường cao h = a và bán kính đáy là r = 5a/4. Một mặt phẳng (P) đi qua đỉnh của khối nón và có khoảng cách đến tâm O của đáy bằng 3a/5.
    a/ Hãy xác định thiết diện của mặt phẳng (P) đối với khối nón. Tính diện tích khối thiết diện đó.
    b/ Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của khối nón.
    c/ Tính thể tích của khối nón tạo nên hình nón đó.

    Bài 2. Trong không gian cho ΔOIM vuông tại I có $\widehat {IOM} = {30^0}$ và cạnh IM = a. Khi quay tam giác OIM quanh cạnh góc vuông OI thì đường gấp khúc OMI tạo thành một hình nón tròn xoay.
    a/ Tính diện tích xung quanh của hình nón đó.
    b/ Tính thể tích khối nón tròn xoay được tạo nên bởi hình nón trên.

    Bài 3. Một hình nón tròn xoay có chiều cao h = 30 cm và bán kính đáy bằng 20 cm
    a/ Cắt hình nón bởi mặt phẳng chứa đường cao. Tính diện tích của thiết diện.
    b/ Cắt hình nón bởi mặt phẳng đi qua đỉnh, ta được một thiết diện là một tam giác đều. Tính diện tích của thiết diện này và khoảng cách từ tâm của mặt phẳng đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện.

    Bài 4. Thiết diện đi qua trục của hình nón là một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng a.
    a/ Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón.
    b/ Tính thể tích của khối nón tương ứng.
    c/ Một mặt phẳng đi qua đỉnh và tạo với mặt phẳng đáy một góc 60$^0$. Tính diện tích của thiết diện được tạo nên.

    Bài 5. Hình nón có bán kính đáy bằng 2a, thiết diện qua trục là một tam giác đều.
    a/ Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần và thể tích của khối nón.
    b/ Cắt hình nón bởi mặt phẳng đi qua đỉnh, ta được thiết diện là một tam giác vuông. Tính diện tích của thiết diện này và khoảng cách từ tâm của mặt phẳng đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện.

    Bài 6. Một hình nón có bán kính đáy bằng 2cm, góc ở đỉnh bằng 60$^0$.
    a/ Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón.
    b/ Tính thể tích của khối nón tương ứng.
    Bài 7. Một hình nón có đỉnh S, bán kính đáy r = 10 cm.

    a/ Tính diện tích thiết diện do mặt phẳng (P) cắt hình nón theo hai đường sinh vuông góc nhau.
    b/ Gọi G là trọng tâm của thiết diện và mặt phẳng(α) qua G, đồng thời vuông góc với trục của hình nón. Tính diện tích của thiết diện do mặt phẳng (α) cắt hình nón.

    Bài 8. Cho hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác vuông cân, thiết diện này có diện tích bằng 12a$^3$.
    a/ Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón.
    b/ Tính thể tích của khối nón tương ứng.
    c/ Mặt phẳng (P) đi qua đỉnh của hình nón, cắt mặt phẳng đáy theo một dây cung có độ dài bằng 2a√3. Tính góc tạo bởi mặt phẳng (P) và mặt phẳng đáy.

    Bài 9. Mặt nón tròn xoay có đỉnh là S, O là tâm của đường tròn đáy, đường sinh bằng a√2 và góc giữa đường sinh và mặt phẳng đáy bằng 60$^0$
    a/ Tính diện xung quanh, diện tích toàn phần của hình nón và thể tích của khối nón được tạo nên.
    b/ Gọi I là một điểm trên đường cao SO của hình nón sao cho tỉ số $ \frac{{SI}}{{SO}} = \sqrt 2 $. Tính diện tích của thiết diện qua I và vuông góc với trục của hình nón.

    Bài 10. Cho hình chóp tam giác đều S.ABCD có cạnh bên bằng a, góc giữa mặt bên và mặt phẳng đáy bằng 30$^0$. Hình nón đỉnh S có đường tròn đáy nội tiếp tam giác đều ABC (được gọi là hình nón nội tiếp hình chóp).
    a/ Tính thể tích của hình chóp S.ABCD .
    b/ Tính diện tích xung quanh của hình nón và thể tích của khối nón tạo nên.

    Bài 11. Cho hình chóp đều S.ABCD có chiều cao $SO = h,\widehat {SAB} = \alpha ,\left( {{{45}^0} < \alpha < {{90}^0}} \right)$. Hãy tính diện tích xung quanh của hình nón có đỉnh là S và có đường tròn đáy ngoại tiếp đáy ABCD của hình chóp.

    Bài 12. Cho hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác đều cạnh bằng 2a.
    a/ Tính diện tích xung quanh của hình nón và thể tích của khối nón tạo nên.
    b/ Thiết diện qua đỉnh của hình nón và cách tâm của đáy hình nón một khoảng là a/2. Tính diện tích của thiết diện tạo thành đó.

    Bài 13. Đường sinh của hình nón bằng 13a, chiều cao là 12a. Một đường thẳng d song song với đáy của hình nón và cắt hình nón. Khoảng cách từ đường thẳng d ấy đến mặt phẳng đáy và chiều cao hình nón lần lượt là 6a và 2a. Tính độ dài đoạn thẳng d nằm trong phần hình nón.

    Bài 14. Cho hình nón đỉnh S và đáy là hình tròn tâm O. Mặt phẳng (α) đi qua đỉnh, cắt đáy theo một dây cung AB, sao cho $\widehat {AOB} = {60^0}$ và mp(α) hợp với mặt phẳng chứa đáy một góc 30$^0$.
    a/ Tính góc $\widehat {ASB}$.
    b/ Cho diện tích của tam giác SAB bằng b. Tính diện tích xung quanh của hình nón.

    Bài 15. Tính thể tích hình nón biết thể tích hình chóp tam giác đều nội tiếp hình nón là V.

    Bài 16. Trên một hình tròn làm đáy chung ta dựng hai hình nón (hình này chứa hình kia). Sao cho hai đỉnh cách nhau một đoạn là a. Góc ở đỉnh của thiết diện qua trục của hình nón lớn là 2α và của hình nón nhỏ là 2β.Tính thể tích phần ở ngoài hình nón nhỏ và ở trong hình nón lớn.
    Bài 17. Cho hình nón có đường cao SO = h và bán kính đáy R. Gọi M là điểm trên đoạn OS, đặt OM = x (O < x < h).
    a/ Tính diện tích thiết diện (T) vuông góc với trục tại M.
    b/ Tính thể tích của khối nón đỉnh O và đáy (T) theo R, h, x. Xác định x sao cho thể tích đạt giá trị lớn nhất.

    Bài 18. Cho hình nón tròn xoay đỉnh S. Trong đáy của hình nón đó có hình vuông ABCD nội tiếp, cạnh bằng a. Biết rằng: $\widehat {ASB} = 2\alpha ,\left( {{0^0} < \alpha < {{45}^0}} \right)$.
    b. Tính diện tích xung quanh của hình nón và thể tích khối nón.
     
    Last edited by a moderator: 22/1/15
  2. dahoang2

    dahoang2 Mới đăng kí

    Tham gia ngày:
    3/8/17
    Bài viết:
    20
    Đã được thích:
    0
    Điểm thành tích:
    0
    Giới tính:
    Nam
    Một khối nón được sinh ra do tam giác đều cạnh 2a quay quanh đường cao của nó. Khoảng cách từ tâm đến đường sinh của nó là:
    A. \(\frac{{a\sqrt 3 }}{3}\)
    B. \(a\sqrt 2\)
    C. a
    D. \(\frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)
     
    1. Minh Toán
      Gọi k là khoảng cách từ tâm đến đường sinh.
      h là đường cao của khối nón.
      R là bán kính.
      Ta có: \(h = a\sqrt 3\)
      R = a
      \(\frac{1}{{{k^2}}} = \frac{1}{{{h^2}}} + \frac{1}{{{R^2}}} \Rightarrow k = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)
       
      Minh Toán, 4/12/17
  3. bí đỏ

    bí đỏ Mới đăng kí

    Tham gia ngày:
    17/6/17
    Bài viết:
    14
    Đã được thích:
    1
    Điểm thành tích:
    0
    Giới tính:
    Nữ
    Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có đường cao bằng a. Một hình nón tròn xoay có đỉnh là S, đáy là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có thể tích là \(V = \frac{{2\pi {a^2}}}{3}\) thì bán kính đáy của hình nón là:
    A. r = 2a
    B. \(r = a\sqrt 2\)
    C. r = 3a
    D. \(r = a\sqrt 3\)
     
    1. Minh Toán
      Độ cao của hình nón cũng chính là độ cao của hình chóp.
      Ta có: \(V = \frac{1}{3}\pi .{R^2}.h = \frac{{2\pi {a^3}}}{3} \Rightarrow {R^2} = 2{a^2} \Rightarrow R = a\sqrt 2\)
       
      Minh Toán, 4/12/17
  4. Bia

    Bia Mới đăng kí

    Tham gia ngày:
    2/10/17
    Bài viết:
    19
    Đã được thích:
    0
    Điểm thành tích:
    0
    Giới tính:
    Nam
    Thiết diện qua trục của một hình nón là tam giác vuông cân có diện tích 50(đvdt). Thể tích khối nón là:
    A. \(\frac{{100\sqrt 2 }}{3}\pi\)
    B. \(\frac{{150\sqrt 3 }}{2}\pi\)
    C. \(\frac{{250\sqrt 2 }}{3}\pi\)
    D. \(\frac{{200\sqrt 3 }}{2}\pi\)
     
    1. Minh Toán
      [​IMG]
      Gọi R là bán kính đáy của hình nón, h là đường cao hình nón.
      Ta có: do thiết diện qua trục là tam giác vuông cân nên h = R
      Khi đó: \({S_\Delta } = \frac{1}{2}.2R.h = R.h = {R^2} = 50 \Rightarrow R = 5\sqrt 2 \Rightarrow h = 5\sqrt 2\)
      Vậy thể tích khối nón là: \(S = \frac{1}{3}.\pi {R^2}.h = \frac{{250\sqrt 2 }}{3}\pi\)
       
      Minh Toán, 4/12/17
  5. bibihana

    bibihana Mới đăng kí

    Tham gia ngày:
    16/9/17
    Bài viết:
    18
    Đã được thích:
    0
    Điểm thành tích:
    0
    Giới tính:
    Nữ
    Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a, mặt bên hợp với đáy góc 600. Hình nón có đỉnh là S, đáy là đường tròn nội tiếp tứ giác ABCD có diện tích toàn phần là.
    A. \(\frac{{2\pi {a^2}\sqrt 3 }}{3}\)
    B. \(2\pi {a^2}\)
    C. \(\pi {a^2}\)
    D. \(3\pi {a^2}\)
     
    1. Minh Toán
      Bán kính đường tròn nội tiếp hình vuông ABCD cũng là bán kính đáy hình nón là: R=a
      Xét khối chóp S.ABCD, góc giữa mặt bên và đáy là 600
      Suy ra độ cao của khối chóp cũng chính là độ cao hình nón là: \(h = a.\tan 60 = a\sqrt 3\)
      Vậy độ dài đường sinh của hình nón là: \(l = \sqrt {{h^2} + {R^2}} = \sqrt {{a^2} + 3{a^2}} = 2a\)
      Vậy diện tích toàn phần hình nón là: \(S = \pi Rl + \pi {R^2} = \pi R(l + R) = \pi a(2a + a) = 3\pi {a^2}\)
       
      Minh Toán, 4/12/17
  6. vetnang082015

    vetnang082015 Mới đăng kí

    Tham gia ngày:
    20/5/16
    Bài viết:
    44
    Đã được thích:
    2
    Điểm thành tích:
    0
    Giới tính:
    Nữ
    Cho hình nón có chiều cao ℎ; bán kính đáy \(r\) và độ dài đường sinh là \(l\). Tìm khẳng định đúng.
    A. \(V = \frac{1}{3}.{r^2}h\)
    B. \({S_{xq}} = \pi rh\)
    C. \({S_{tp}} = \pi r\left( {r + l} \right)\)
    D. \({S_{xq}} = 2\pi rh\)
     
    1. Minh Toán
      Đáp án đúng ở đây là đáp án C.
      Câu hỏi này nhằm kiểm tra lại các công thức của hình nón.
      \(V = \frac{1}{3}.\pi {r^2}h;\,{S_{xq}} = \pi rl;\,{S_{tp}} = \pi {r^2} + \pi rl\)
       
      Minh Toán, 4/12/17
  7. Củ cải

    Củ cải Mới đăng kí

    Tham gia ngày:
    1/7/17
    Bài viết:
    7
    Đã được thích:
    0
    Điểm thành tích:
    0
    Giới tính:
    Nữ
    Hình ABCD khi quay quanh BC thì tạo ra:
    [​IMG]
    A. Một hình trụ.
    B. Một hình nón.
    C. Một hình nón cụt.
    D. Hai hình nón.
     
    1. Minh Toán
      Gọi O là giao điểm của BC và AD. Khi quay hình ABCD quanh BC tức là tam giác vuông OBA quanh OB và tam giác vuông OCD quanh OC. Mỗi hình quay sẽ tạo ra một hình nón nên hình tạo ra sẽ tạo ra 2 hình nón.
      Vậy đáp án đúng là D.
       
      Minh Toán, 4/12/17
  8. cubinpcx

    cubinpcx Mới đăng kí

    Tham gia ngày:
    4/8/17
    Bài viết:
    8
    Đã được thích:
    0
    Điểm thành tích:
    1
    Giới tính:
    Nam
    Trong không gian, cho tam giác ABC vuông tại C có đường cao kẻ từ C là \(h = \frac{{a\sqrt 3 }}{2},CA = a\) . Khi đó đường sinh l của hình nón nhận được khi quay tam giác ABC quanh trục CA là?
    A. \(l = a\)
    B. \(l = \sqrt 2 a\)
    C. \(l = \sqrt 3 a\)
    D. \(l = 2a\)
     
    1. Minh Toán
      Đường sinh của hình nón quay được thực chất chính là cạnh huyền AB của tam giác vuông ABC. Mà tam giác vuông đã có một cạnh bên và đường cao, ta chỉ cần áp dụng công thức hệ thức lượng trong tam giác
      \(\frac{1}{{{h^2}}} = \frac{1}{{C{A^2}}} + \frac{1}{{C{B^2}}} \Leftrightarrow \frac{4}{{3{a^2}}} = \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{C{B^2}}}\)
      \(\Rightarrow CB = a\sqrt 3 \Rightarrow AB = 2a\)
      ( theo định lý Pytago). Đáp án D.
       
      Minh Toán, 4/12/17
  9. Vân Anh2k

    Vân Anh2k Mới đăng kí

    Tham gia ngày:
    6/10/17
    Bài viết:
    37
    Đã được thích:
    0
    Điểm thành tích:
    0
    Giới tính:
    Nữ
    Thiết diện qua trục của một hình nón là một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng 2. Tính diện tích xung quanh của hình nón.
    A. \(2\pi \sqrt 2\) (đvdt)
    B. \(2\pi\) (đvdt)
    C. \(4\pi \sqrt 2\) (đvdt)
    D. \(4\pi\) (đvdt)
     
    1. Minh Toán
      Ta có thiết diện qua trục của hình nón là tam giác vuông cân có cạnh bằng 2 \(\Leftrightarrow\) đường sinh \(l=2\). Đường kính của hình tròn đáy là cạnh huyền của tam giác vuông.
      \(2R = \sqrt {{2^2} + {2^2}} = 2\sqrt 2 \Rightarrow R = \sqrt 2\). Khi đó \({S_{xq}} = \pi .Rl = 2\sqrt 2 \pi\) đvdt.
       
      Minh Toán, 4/12/17
  10. cô Hiền

    cô Hiền Mới đăng kí

    Tham gia ngày:
    18/11/17
    Bài viết:
    6
    Đã được thích:
    0
    Điểm thành tích:
    1
    Giới tính:
    Nữ
    Từ cùng một tấm kim loại dẻo hình quạt như hình vẽ có kích thước bán kính R = 5 và chu vi của hình quạt là \(P = 8\pi + 10\), người ta gò tấm kim loại thành những chiếc phễu theo hai cách:
    Gò tấm kim loại ban đầu thành mặt xung quanh của một cái phễu
    Chia đôi tấm kim loại thành hai phần bằng nhau rồi gò thành mặt xung quanh của hai cái phễu
    Gọi V1 là thể tích của cái phễu thứ nhất, V2 là tổng thể tích của hai cái phễu ở cách 2. Tính \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}}\)?
    [​IMG]
    A. \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{{21}}{{\sqrt 7 }}\)
    B. \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{{2\sqrt {21} }}{7}\)
    C. \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{2}{{\sqrt 6 }}\)
    D. \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{{\sqrt 6 }}{2}\)
     
    1. Minh Toán
      Do chu vi của hình quạt tròn là P = độ dài cung + 2R. Do đó độ dài cung tròn là \(l = 8\pi\)
      Theo cách thứ nhất: \(8\pi\) chính là chu vi đường tròn đáy của cái phễu. Tức là \(2\pi r = 8\pi \Rightarrow r = 4\)
      Khi đó \(h = \sqrt {{R^2} - {r^2}} = \sqrt {{5^2} - {4^2}} = 3\)
      \(\Rightarrow {V_1} = \frac{1}{3}.3\pi {.4^2}\)
      Theo cách thứ hai: Thì tổng chu vi của hai đường tròn đáy của hai cái phễu là \(8\pi \Leftrightarrow\) chu vi của một đường tròn đáy là \(4\pi \Rightarrow 4\pi = 2\pi {\rm{r}} \Rightarrow r = 2\)
      Khi đó \(h = \sqrt {{R^2} - {r^2}} = \sqrt {{5^2} - {2^2}} = \sqrt {21}\)
      \(\Rightarrow {V_2} = 2.\frac{1}{3}\sqrt {21} {.2^2}.\pi\)
      Khi đó \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{{{4^2}}}{{\frac{{8\sqrt {21} }}{3}}} = \frac{{2\sqrt {21} }}{7}\).
       
      Minh Toán, 4/12/17
  11. cobong23

    cobong23 Mới đăng kí

    Tham gia ngày:
    10/9/17
    Bài viết:
    9
    Đã được thích:
    1
    Điểm thành tích:
    0
    Giới tính:
    Nữ
    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = a và SA vuông góc với đáy. Gọi I là trung điểm SC. Tính thể tích V của khối nón ngoại tiếp khối chóp I.ABCD.
    A. \(\frac{{\pi {a^3}}}{3}\)
    B. \(\frac{{\pi {a^3}}}{4}\)
    C. \(\frac{{\pi {a^3}}}{6}\)
    D. \(\frac{{\pi {a^3}}}{{12}}\)
     
    1. Minh Toán
      [​IMG]
      a có khối nón có \(h = IO =\frac{a}{2}\)
      Bán kính hình tròn đáy \(R=OA = \frac{{AC}}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)
      Vậy \({V_{(N)}} = \frac{1}{3}\pi {R^2}h = \frac{1}{3}.\pi .\frac{{{a^2}}}{2}.\frac{a}{2} = \frac{{\pi {a^3}}}{{12}}\)
       
      Minh Toán, 4/12/17
  12. coctien88

    coctien88 Mới đăng kí

    Tham gia ngày:
    9/6/17
    Bài viết:
    5
    Đã được thích:
    1
    Điểm thành tích:
    0
    Giới tính:
    Nữ
    Thiết diện qua trục của hình nón tròn xoay là một tam giác đều có cạnh bằng a.Tính thể tích của khối nón đó.
    A. \(V=\frac{{3\pi {a^3}}}{8}\)
    B. \(V=\frac{{2\sqrt 3 \pi {a^3}}}{9}\)
    C. \(V=\frac{{\sqrt 3 \pi {a^3}}}{{24}}\)
    D. \(V=\sqrt 3 \pi {a^3}\)
     
    1. Minh Toán
      [​IMG]
      Bán kính đáy của hình nón là: \(R = \frac{{BC}}{2} = \frac{a}{2}\)
      Chiều cao: \(h = AH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)
      Vậy hình nón có thể tích là:
      \(V = \frac{1}{3}\pi {R^2}h = \frac{1}{3}\pi {\left( {\frac{a}{2}} \right)^2}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{\pi {a^3}\sqrt 3 }}{{24}}\)
       
      Minh Toán, 4/12/17
  13. cogangom

    cogangom Mới đăng kí

    Tham gia ngày:
    9/6/17
    Bài viết:
    3
    Đã được thích:
    1
    Điểm thành tích:
    0
    Giới tính:
    Nam
    Một hình nón có góc ở đỉnh bằng 600, đường sinh bằng 2a. Tính diện tích xung quanh của hình nón.
    A. \({S_{xq}} = 4\pi {a^2}\)
    B. \({S_{xq}} = 2\pi {a^2}\)
    C. \({S_{xq}} = \pi {a^2}\)
    D. \({S_{xq}} = 3\pi {a^2}\)
     
    1. Minh Toán
      [​IMG]
      Giả sử thiết diện qua trục hình nón là tam giác ABC có AB=2a, \(\widehat {BAC} = {60^0}\).
      Gọi H là trung điểm của BC, suy ra H là tâm đáy.
      Ta có:
      \(\widehat {BAH} = \frac{{\widehat {BAC}}}{2} = {30^0}\)
      \(r = HB = AB.\sin {30^0} = a\)
      \(l = AB = 2a\)
      \(\Rightarrow {S_{xq}} = \pi rl = 2\pi {a^2}\)
       
      Minh Toán, 4/12/17
  14. toan2kbv

    toan2kbv Mới đăng kí

    Tham gia ngày:
    29/10/17
    Bài viết:
    19
    Đã được thích:
    0
    Điểm thành tích:
    0
    Giới tính:
    Nam
    Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên hợp với mặt đáy góc 60o. Tính diện tích xung quanh của hình nón có đỉnh S, đáy là đường tròn nội tiếp tứ giác ABCD.
    A. \(S = 2\pi {a^2}\)
    B. \(S = \frac{{\sqrt 7 \pi {a^2}}}{4}\)
    C. \(S = \pi {a^2}\)
    D. \(S = \frac{{\pi {a^2}}}{2}\)
     
    1. Minh Toán
      [​IMG]
      Gọi O là tâm đáy, H là trung điểm CD.
      Hình nón đã cho có bán kính đáy OH, đường sinh SH.
      \(\widehat {SAO} = {60^0}\) (Góc giữa cạnh bên và mặt đáy)
      Nên SAC là tam giác đều.
      Nên: \(SC = SA = AC = a\sqrt 2\)
      \(SO = SC.\sin {60^0} = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}\)
      \(r = OH = \frac{{AD}}{2} = \frac{a}{2};\)
      \(l = SH = \sqrt {S{O^2} + O{H^2}} = \frac{{a\sqrt 7 }}{2}\)
      \({S_{xq}} = \pi rl = \frac{{\pi {a^2}\sqrt 7 }}{4}\)
       
      Minh Toán, 4/12/17
  15. toandaithanh1

    toandaithanh1 Mới đăng kí

    Tham gia ngày:
    25/2/17
    Bài viết:
    11
    Đã được thích:
    0
    Điểm thành tích:
    0
    Giới tính:
    Nữ
    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a. Gọi O là tâm của hình vuông ABCD. Tính thể tích V của khối nón có đỉnh là O và đáy là hình tròn nội tiếp hình vuông A'B'C'D'.
    A. \(V = \frac{1}{4}\pi {a^3}\)
    B. \(V = \frac{1}{3}\pi {a^3}\)
    C. \(V = \frac{1}{12}\pi {a^3}\)
    D. \(V = \frac{1}{2}\pi {a^3}\)
     
    1. Minh Toán
      [​IMG]
      Do đường tròn đáy của hình nón nội tiếp hình vuông A'B'C'D' nên độ dài đường kính hình tròn \(d = a \Rightarrow R = \frac{a}{2}\). Khi đó \(V = \frac{1}{3}.a.{\left( {\frac{a}{2}} \right)^2}\pi = \frac{{{a^3}}}{{12}}\pi\)
       
      Minh Toán, 4/12/17
  16. toangmg3

    toangmg3 Mới đăng kí

    Tham gia ngày:
    20/10/17
    Bài viết:
    10
    Đã được thích:
    0
    Điểm thành tích:
    0
    Giới tính:
    Nam
    Một hình nón có bán kính đáy bằng 1, chiều cao nón bằng 2. Khi đó góc ở đỉnh của nón là \(2\varphi\) thỏa mãn điều kiện nào sau đây?
    A. \(\tan \varphi = \frac{{\sqrt 5 }}{5}\)
    B. \(\cot \varphi = \frac{{\sqrt 5 }}{5}\)
    C. \(\cos \varphi = \frac{{2\sqrt 5 }}{5}\)
    D. \(\sin \varphi = \frac{{\sqrt 5 }}{5}\)
     
    1. Minh Toán
      [​IMG]
      Giả sử thiết diện qua trục của hình nón đã cho là ∆ ABC cân tại A với A là đỉnh nón, BC là đường kính đáy của nón.
      Gọi H là tâm đáy nón ⇒ H là trung điểm BC, AH ⊥ BC .
      Ta có HB = HC = 1, AH = 2.
      \(\widehat {BAC} = 2\varphi \Rightarrow \widehat {HAC} = \varphi\)
      \(\begin{array}{l} AC = \sqrt {A{H^2} + H{C^2}} = \sqrt 5 \\ \cos \varphi = \frac{{AH}}{{AC}} = \frac{2}{{\sqrt 5 }} \end{array}\)
       
      Minh Toán, 4/12/17
  17. toảnp

    toảnp Mới đăng kí

    Tham gia ngày:
    31/7/17
    Bài viết:
    11
    Đã được thích:
    0
    Điểm thành tích:
    0
    Giới tính:
    Nam
    Người ta đặt được vào một hình nón hai khối cầu có bán kính lần lượt là a và 2a, sao cho các khối cầu đều tiếp xúc với mặt xung quanh của hình nón, hai khối cầu tiếp xúc với nhau và khối cầu lớn tiếp xúc với đáy của hình nón. Tìm bán kính đáy R của hình nón.
    A. \(R = \frac{{8a}}{3}\)
    B. \(R = \sqrt 2 a\)
    C. \(R = 2\sqrt 2 a\)
    D. \(R = \frac{{4a}}{3}\)
     
    1. Minh Toán
      [​IMG]
      Gọi tam giác ABC là thiết diện qua trục của hình nón với A là đỉnh của hình nón, BC là đường kính đáy.
      Gọi H là tâm đường tròn đáy, suy ra H là trung điểm của BC.
      Gọi \(O_1\) là tâm mặt cầu lớn.
      \(O_2\) là tâm mặt cầu nhỏ.
      \({D_1},{D_2}\) lần lượt là tiếp điểm của AC với \(O_1\) và \(O_2\).
      Ta cần tìm R=HC.
      Vì: \(\left\{ \begin{array}{l} {O_1}{D_1}//{O_2}{D_2}\\ {O_1}{D_1} = 2{O_2}{D_2} \end{array} \right.\)
      Nên \(O_2\) là trung điểm của \(A{O_1} \Rightarrow A{O_1} = 2{O_1}{O_2} = 2.3a = 6a\)
      \(AH = A{O_1} + {O_1}H = 8a\)
      \(A{D_1} = \sqrt {A{O_1}^2 - {O_1}{D_1}^2} = 4a\sqrt 2\)
      Ta có: \(\Delta A{O_1}{D_1}\) và \(\Delta ACH\) là hai tam giác đồng dạng nên:
      \(\frac{{{O_1}{D_1}}}{{CH}} = \frac{{A{D_1}}}{{AH}} \Rightarrow CH = 2\sqrt 2 a\)
       
      Minh Toán, 4/12/17
  18. Toanqt85

    Toanqt85 Mới đăng kí

    Tham gia ngày:
    23/5/15
    Bài viết:
    5
    Đã được thích:
    0
    Điểm thành tích:
    1
    Giới tính:
    Nam
    Trong không gian cho tam giác ABC vuông tại A có AB = a, AC = 2a. Quay tam giác ABC xung quanh cạnh AB ta được một khối nón. Tính thể tích V của khối nón đó.
    A. \(V = 2\pi {a^3}\)
    B. \(V = \frac{{4\pi {a^3}}}{3}\)
    C. \(V = 4\pi {a^3}\)
    D. \(V = \frac{{2\pi {a^3}}}{3}\)
     
    1. Minh Toán
      Hình nón thu được có bán kính đáy r = AC = 2a, Chiều cao h = AB = a nên có thể tích: \(V = \frac{1}{3}\pi {r^2}h = \frac{{4\pi {a^3}}}{3}\)
      [​IMG]
       
      Minh Toán, 4/12/17
  19. tobefls

    tobefls Mới đăng kí

    Tham gia ngày:
    10/6/17
    Bài viết:
    5
    Đã được thích:
    0
    Điểm thành tích:
    0
    Giới tính:
    Nam
    Cho tam giác ABO vuông tại O, có góc \(\widehat {BAO} = {30^0},AB = a\). Quay tam giác ABO quanh trục AO ta được một hình nón. Tính diện tích xung quanh hình nón đó.
    A. \(S = \pi {a^2}\)
    B. \(S = \frac{{\pi {a^2}}}{4}\)
    C. \(S = \frac{{\pi {a^2}}}{2}\)
    D. \(S = \frac{{\pi {a^2}}}{3}\)
     
    1. Minh Toán
      [​IMG]
      Hình nón thu được có đường sinh: \(l = AB = a\)
      Bán kính đáy:\(r = OB = AB.sin30^\circ = \frac{a}{2}\)
      Diện tích xung quanh là: \({S_{xq}} = \pi rl = \frac{{\pi {a^2}}}{2}\)
       
      Minh Toán, 4/12/17
  20. todinhthuc88

    todinhthuc88 Mới đăng kí

    Tham gia ngày:
    17/7/17
    Bài viết:
    7
    Đã được thích:
    0
    Điểm thành tích:
    0
    Giới tính:
    Nam
    Một hình nón có bán kính đáy bằng R và diện tích xung quanh bằng \(\frac{{5\pi {R^2}}}{3}\). Tính thể tích V của khối nón.
    A. \(V = \frac{{4\pi {R^3}}}{9}\)
    B. \(V = \frac{{4\pi {R^2}}}{9}\)
    C. \(V = \frac{{4\pi {R}}}{9}\)
    D. \(V = \frac{{2\pi {R^3}}}{9}\)
     
    1. Minh Toán
      [​IMG]
      \(\begin{array}{l} {S_{xq}} = \frac{{5\pi {R^2}}}{3} = \pi Rl \Rightarrow l = \frac{{5R}}{3} \Rightarrow {h^2} = {l^2} - {R^2} = \frac{{16{R^2}}}{9}\\ \Rightarrow V = \frac{{\pi {R^2}h}}{3} = \frac{{4\pi {R^3}}}{9} \end{array}\)
       
      Minh Toán, 4/12/17

Chia sẻ trang này