Các bước cơ bản khảo sát hàm số bậc 4

Doremon · 3/12/14

CÁC BƯỚC VẼ HÀM SỐ

Bước 1:Tìm tập xác định của hàm số
Bước 2: tính y’ và xét dấu ý
Bước 3: Chỉ cần tìm giới hạn của số hạng có mũ cao nhất, ở đây là tìm $\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } {x^4} = ??$
Bước 4: BBT luôn gồm có “ 3 dòng”: dành cho x, y’ và y
Bước 5: Phải nêu các điểm cực đại; các điểm cực tiểu
Bước 6:Vẽ đồ thị cần thực hiện theo thứ tự gợi ý sau:

Vẽ hệ trục tọa độ Oxy

Xác định các điểm cực đại, cực tiểu, điểm uốn, giao điểm với Ox,Oy

Dựa vào BBT và dạng đồ thị để vẽ đúng dạng (tham khảo các dạng đồ thị ở sau đây)

VẬN DỤNG

Ví dụ 1: Khảo sát hàm số y = x$^4$ - 2x$^2$ – 3.

Giải

Bước 1: Tập xác định D = R
Bước 2:
y’ = 4x3 - 4x
y’ = 0 ↔ 4x3 - 4x = 0 ↔x(4x2 – 4) = 0 ↔x = 0; x = 1; x = - 1
Bước 3:
Giới hạn: $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty ;\,\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = + \infty $
Bước 4: Lập bảng biến thiên

Bước 5:
Điểm cực đại: x = 0 ; y = -3
Điểm cực tiểu: x = -1; y = -4
x = 1; y = -4
Bước 6:
Đồ thị hàm số:
Giao điểm với Ox:
x = √3; y = 0
x = - √3; y = 0
Giao điểm với Oy:
x = 0 ; y = - 3

Tăng Giáp · 15/3/16

Đề thi thử môn Toán 2016 THPT Triệu Sơn 1 - Thanh Hóa
Cho hàm số: $y=x^{4}-2x^{2}+1$. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số?

Giải

Tăng Giáp · 23/3/16

Đề thi thử môn Toán 2016 THPT Xuân Trường - Nam Định
Cho hàm số: $y=x^{4}-2x^{2}-3 $. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số?

giải

Tăng Giáp · 24/3/16

Đề thi thử môn Toán 2016 THPT Lê Hồng Phong
Cho hàm số: $y=x^{4}+2x^{2}-2$. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số?

Giải

Tăng Giáp · 25/3/16

Đề thi thử môn Toán 2016 THPT Nguyễn Trung thiên - Hà Tĩnh
Cho hàm số: $y=x^{4}-2x^{2}-3 $. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số?

giải

Minh Toán · 16/10/17

Câu 1
Cho hàm số y=f(x) có đồ thị như hình vẽ bên. Biết rằng f(x) là một trong bốn hàm được đưa ra trong các phương án A, B, C, D dưới đây. Tìm f(x).

A. $f\left( x \right) = {x^4} - 2{x^2}$
B. $f\left( x \right) = {x^4} + 2{x^2}$
C. $f\left( x \right) = - {x^4} + 2{x^2} - 1$
D. $f\left( x \right) = - {x^4} + 2{x^2}$

Hướng dẫn
Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - \infty$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = - \infty\Rightarrow$ hệ số của $x^4$ âm nên loại A và B.
Mà (C) qua O(0;0) nên D đúng.

Câu 2
Hình bên là đồ thị của một trong bốn hàm số cho trong các phương án A, B, C, D, hỏi đó là hàm nào?

A. $y = 2{x^2} - {x^4}$
B. $y = - {x^3} + 3{x^2}$
C. $y = {x^4} - 2{x^2}$
D. $y = {x^3} - 2x$

Hướng dẫn
Dựa vào đồ thị và đáp án ta thấy
Đồ thị hàm số có ba cực trị, suy ra hàm số phải là hàm bậc bốn trở lên. Loại B, D
$\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } y = + \infty$ . Loại A
Vậy D là phương án đúng.

Câu 3
Cho hàm số $y = - {x^4} - 2{x^2} + 3.$ Khẳng định nào sau đây là sai?
A. Hàm số đạt cực tiểu tại x=0.
B. Hàm số đạt cực đại tại x=0.
C. Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( {0; + \infty } \right).$
D. Hàm số đồng biến trên khoảng

Hướng dẫn
Ta có: $y' = - 4{x^3}\left( {{x^2} + 1} \right);{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} y' = 0 \Leftrightarrow x = 0$
Hàm số đồng biến trên khoảng $(-\infty ;0)$ và nghịch biến trên khoảng $\left( {0; + \infty } \right).$
Hàm số đạt cực đại tại x=0.

Câu 4
Đồ thị bên dưới là của hàm số nào trong các hàm số sau?

A. $y = - {x^4} + 2{x^2} + 3$
B. $y = - {x^4} + 2{x^2}$
C. $y = {x^4} - 2{x^2}$
D. $y = {x^4} - 2{x^2} - 1$

Hướng dẫn
Ta thấy $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty$ nên suy ra hệ số của $x^4$ dương. Loại A và B.
Với x=0 ta thấy y=0. Nên loại D.
Vậy C là phương án đúng.

Câu 5
Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ xác định, liên tục trên $\mathbb{R}$ và có bảng biến thiên:

Khẳng định nào sau đây là sai
A. Hàm số đồng biến trên các khoảng $\left( { - 1;0} \right)$ và $\left( {1; + \infty } \right)$
B. $f\left( { - 1} \right)$ được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số.
C. ${x_0} = 1$ được gọi là điểm cực tiểu của hàm số.
D. $M\left( {0;2} \right)$ được gọi là điểm cực tiểu của hàmsố.

Hướng dẫn
+ Hàm số đồng biến trên $\left( { - 1;0} \right)$ và $\left( {1; + \infty } \right)$ $ \Rightarrow $ A đúng.
+ $x = - 1;x = 1$ là các điểm cực tiểu của hàm số, $f\left( { - 1} \right);f\left( 1 \right)$ là các giá trị cực tiểu của hàm số$ \Rightarrow $ B, C đúng.
+ $M\left( {0;2} \right)$ được gọi là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số $ \Rightarrow $ D sai.

Câu 6
Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị là đường cong như hình vẽ bên. Tìm điểm cực tiểu của đồ thị hàm số $y = f\left( x \right).$

A. $N\left( {2;2} \right).$
B. $x = 0.$
C. $y = - 2.$
D. $M\left( {0; - 2} \right).$

Hướng dẫn

Đồ thị hàm số đạt cực trị tại $\left( { - 2;2} \right),\left( {0; - 2} \right),\left( {2;2} \right)$ trong đó điểm cực tiểu là $M\left( {0; - 2} \right).$

Câu 7
Cho hàm số $y = a{x^4} + b{x^2} + c$ có đồ thị như hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây đúng ?

A. $a > 0,b > 0,c > 0$
B. $a > 0,b < 0,c < 0$
C. $a > 0,b < 0,c > 0$
D. $a < 0,b > 0,c > 0$

Hướng dẫn
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty $ do đó $a > 0$
Đồ thị hàm số cắt Oy tại điểm $\left( {O;c} \right) \Rightarrow c > 0$.
Ta có: $y' = 4a{x^3} + 2bx = 2x(2a{x^2} + b) \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} = - \frac{b}{{2a}}\end{array} \right.$
Đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị suy ra phương trình y’=0 có 3 nghiệm phân biệt hay: $\frac{{ - b}}{{2a}} > 0 \Rightarrow b < 0.$

Câu 8
Đường cong trong hình bên là đồ thị của một trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?

A. $y = {x^4} - 2{{\rm{x}}^2} + 1$
B. $y = - {x^4} - 2{{\rm{x}}^2} + 1$
C. $y = - {x^4} + 2{{\rm{x}}^2} + 1$
D. $y = {x^4} + 2{{\rm{x}}^2} + 1$

Hướng dẫn

$y=-x^4-2x^2+1$
Đáp án B

Câu 9
Hàm số $y=ax^4+bx^2+c$ đạt cực đại tại A(0;-3) và đạt cực tiểu tại B(-1;-5), Khi đó giá trị của a, b , c lần lượt là:
A. 2; 4; -3
B. -3; -1; -5
C. -2; 4; -3
D. 2;-4; -3

Hướng dẫn
$y=ax^4+bx^2+c$
$y'=4ax^3+2bx; y''=12ax^2+2b$
y'(-1)=0 ⇔ -4a-2b=0 (1)
y''(-1) > 0 ⇔ 12a + 2b > 0 (*)
y(0) = -3 ⇔ c = -3
y(-1) = - 5 ⇔ a +b -3 = -5 (2)
$(1)(2)\Rightarrow \left\{\begin{matrix} -4a-2b=0\\ a+b=-2 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=2\\ b=-4 \end{matrix}\right.$ thỏa (*)
Vậy a = 2, b = -4, c = - 3 thử lại thỏa yêu cầu bài toán.
Đáp án D

Câu 10
Cho đồ thị $(C): y=ax^4+bx^2+c$. Xác định của a; b; c biết hình dạng đồ thị như sau:

A. a > b và b < 0 và c > 0
B. a > b và b > 0 và c > 0
C. Đáp án khác
D. a > b và b > 0 và c < 0

Hướng dẫn
Đồ thị hàm số có chiều từ trên xuống ⇒ a > 0
Đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị ⇒ a và b trái dấu ⇒ b > 0
Điểm (0;c) có tung độ dương ⇒ c > 0
Đáp án A

Câu 11
Cho đồ thị hàm số $y = f\left( x \right) = {x^4} - 2{x^2} - 3$ như hình vẽ. Từ đồ thị hãy xác định số nghiệm của phương trình $\left| {{x^4} - 2{x^2} - 3} \right| = m$ với $m \in \left( {3;4} \right)$.

A. 3
B. 2
C. 4
D. 6

Hướng dẫn
Số nghiệm của phương trình $\left| {{x^4} - 2{x^2} - 3} \right| = m$ là số giao điểm của 2 đồ thị hàm số $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {y = h\left( x \right) = \left| {f\left( x \right)} \right|\left( C \right)}\\ {y = m\left( d \right)} \end{array}} \right.$, với y=m là đường thẳng cùng phương với trục Ox.
Vẽ đồ thị (C) của hàm số $y=x^4-2x^2-3$.
Giữ nguyên phần đồ thị (C) phía trên trục Ox, lấy đối xứng phần đồ thị dưới trục Ox qua Ox ta được đồ thị hàm số $y=\left | x^4-2x^2-3 \right |$ như hình vẽ sau:

Nhìn vào đồ thị ta thấy với $m \in \left( {3;4} \right)$ thì d cắt (C) tại 6 điểm phân biệt. Vậy với $m \in \left( {3;4} \right)$ thì phương trình có 6 nghiệm phân biệt.

Câu 12
Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A,B,C,D đưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?

A. $y = {x^4} - 2{x^2} + 2$
B. $y = {x^3} - 3{x^2} + 2$
C. $y = - {x^4} + 2{x^2} + 2$
D. $y = - {x^3} + 3{x^2} + 2$

Hướng dẫn
Dạng đường cong này là đồ thị của hàm số bậc bốn trùng phương, loại phương án B và D.
Đồ thị của hàm số bậc bốn trùng phương $a{x^4} + b{x^2} + c\,(a \ne 0)$ có dạng hình chữ W, suy ra a>0, nên ta chọn ngay phương án A.

Câu 13
Đường cong trong hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?

A. $y = {x^3} - 3{x^2} + 1$
B. $y = 2{x^4} - 5{x^2} + 1$
C. $y = - {x^3} + 3{x^2} + 1$
D. $y = - 2{x^4} + 4{x^2} + 1$

Hướng dẫn
Từ hình dạng ta suy ra đây là đồ thị của hàm số bậc bốn trùng phương: Loại A, C.
Mặc khác, theo đồ thị ta thấy: $\mathop {\lim y}\limits_{x \to - \infty } = + \infty $ suy ra hệ số của ${x^4}$ dương.

Câu 14
Cho hàm số $y = a{x^4} + b{x^2} + c$ có đồ thị như hình vẽ bên.
Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. $a > 0,b < 0,c > 0$
B. $a < 0,b > 0,c < 0$
C. $a < 0,b < 0,c < 0$
D. $a > 0,b < 0,c < 0$

Hướng dẫn
Từ đồ thị hàm số ta thấy: $\mathop {\lim y}\limits_{x \to - \infty } = - \infty$ nên hệ số a âm. Loại A và D.
$y' = 4a{x^3} + 2bx = 2x\left( {2a{x^2} + b} \right)$
$y' = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ 2a{x^2} + b = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ {x^2} = - \frac{b}{{2a}} \end{array} \right.$
Với a<0, nếu b<0 thì phương trình ${x^2} = - \frac{b}{{2a}}$ vô nghiệm nên hàm số chỉ có một điểm cực trị tại x=0. Loại C.
Với a<0 nếu b>0 thì phương trình ${x^2} = - \frac{b}{{2a}}$ có hai nghiệm nên hàm số có ba điểm cực trị.
Vậy D là phương án đúng.

Câu 15
Cho hàm số $y = a{x^4} + b{x^2} + c$ có đồ thị như hình vẽ. Dấu của a, b, c là:

A. $a < 0,b < 0,c < 0$
B. $a > 0,b > 0,c < 0$
C. $a < 0,b > 0,c < 0$
D. $a > 0,b < 0,c < 0$

Hướng dẫn
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy
$\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left( {a{x^4} + b{x^2} + c} \right) = - \infty \Rightarrow a < 0$
Hàm số có ba cực trị, suy ra PT $y' = 4a{x^3} + 2bx = 2x\left( {2a{x^2} + b} \right) = 0$ có ba nghiệm phân biệt, suy ra $ - \frac{b}{{2a}} > 0 \Rightarrow b > 0$
Đồ thị hàm số đi qua điểm $\left( {0;c} \right) \Rightarrow c < 0$

Câu 16
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số $y = {x^4} - 2m{x^2} + 2m - 4$ đi qua điểm N(-2;0).
A. $m=-\frac{6}{5}.$
B. m=1.
C. m=2
D. m=-1.

Hướng dẫn
Đồ thị hàm số đi qua điểm $N\left( { - 2;0} \right) \Rightarrow 0 = {\left( { - 2} \right)^4} - 2m{\left( { - 2} \right)^2} + 2m - 4 \Leftrightarrow m = 2.$

Câu 17
Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị của một hàm số được liệt kê ở bốn phương án $A$, $B$, $C$, $D$. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?

A. $y = \frac{{ - x - 1}}{{x + 1}}$.
B. $y = - {x^4} + 4{x^2}$.
C. $y = - {x^3} + 3x$.
D. $y = {x^4} - 4{x^2}$.

Hướng dẫn
Từ hình dạng của đồ thị ta suy ra đây là đồ thị của hàm số bậc bốn trùng phương.
Mặt khác: $\mathop {\lim y}\limits_{x \to - \infty } = - \infty $ nên hệ số của ${x^4}$ âm.
Vậy B là phương án đúng.

Câu 18
Đồ thị hàm số $y = a{x^4} + b{x^2} + c$ cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt A, B, C, D như hình vẽ bên. Biết rằng $AB = BC = CD$, mệnh đề nào sau đây đúng?

A. $a > 0,b < 0,c > 0,100{b^2} = 9ac$
B. $a > 0,b > 0,c > 0,0,9{b^2} = 100ac$
C. $a > 0,b < 0,c > 0,9{b^2} = 100ac$
D. $a > 0,b > 0,c > 0,100{b^2} = 9ac$

Hướng dẫn
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy
$\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left( {a{x^4} + b{x^2} + c} \right) = + \infty \Rightarrow a > 0$
Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 4 điểm như trong hình khi đó $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - \frac{b}{a} > 0}\\{\frac{c}{a} > 0}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{b < 0}\\{c > 0}\end{array}} \right.$. Gọi ${x_1},{x_2}$ là nghiệm PT $a{x^4} + b{x^2} + c = 0$ suy ra $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a}}\\{{x_1}.{x_2} = \frac{c}{a}}\\{x_A^2 = x_D^2 = {x_1}}\\{x_B^2 = x_C^2 = {x_2}}\end{array}} \right.$
Ta có $AB = BC = CD$, suy ra ${x_A} + {c_C} = 2{x_B} \Rightarrow - \sqrt {{x_1}} + \sqrt {{x_2}} = - 2\sqrt {{x_2}} \Leftrightarrow \sqrt {{x_1}} $
$ = 3\sqrt {{x_2}} \Leftrightarrow {x_1} = 9{x_2}\left( 3 \right)$
Từ (1), (2), (3) suy ra $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a}}\\{{x_1}{x_2} = \frac{c}{a}}\\{{x_1} = 9{x_2}}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1} = - \frac{{9b}}{{10a}}}\\{{x_2} = - \frac{b}{{10a}}}\end{array}} \right. \Rightarrow \frac{c}{a} = \frac{{9{b^2}}}{{100{a^2}}} \Rightarrow 9{b^2} = 100ac$
Suy ra $a > 0,b < 0,c > 0,9{b^2} = 100ac.$

Câu 19
Đường cong trong hình bên là đồ thị của hàm số nào trong các hàm số sau?

A. $y = - {x^4} + 2{x^2} - 1.$
B. $y = {x^4} - 2{x^2} - 1.$
C. $y = {x^4} - 2{x^2} + 1.$
D. $y = - {x^4} - 2{x^2} - 1.$

Hướng dẫn
Ta có nhánh bên tay phải của đồ thị hàm số đi lên suy ra a>0 loại câu A, D.
Quan sát đồ thị hàm số đi qua điểm (0;-1) nên loại câu C.

Câu 20
Đồ thị hàm số nào sau đây luôn nằm dưới trục hoành:
A. $y = {x^4} + 3{x^2} - 1$
B. $y = - {x^3} - 2{x^2} + x - 1$
C. $y = - {x^4} + 2{x^2} - 2$
D. $y = - {x^4} - 4{x^2} + 1$

Hướng dẫn
Trước tiên muốn làm được bài toán này ta cần phải hiểu đồ thị hàm số luôn nằm dưới trục hoành khi và chỉ khi:
$y = f\left( x \right) < 0;\,\forall x \in R$
Lưu ý rằng: hàm số bậc ba bất kì luôn nhận được mọi giá trị từ $-\infty$ đến $+\infty$ nên ta có thể loại ngay hàm này, tức là đáp án B sai. Tiếp tục trong ba đáp án còn lại, ta có thể loại ngay đáp án A vì hàm bậc bốn có hệ số bậc cao nhất x4 là 1 nên hàm này có thể nhận giá trị $+\infty$.
Trong hai đáp án C và D ta cần làm rõ:
C) $y = - {x^4} + 2{x^2} - 2 = - {\left( {{x^2} - 1} \right)^2} - 1 < 0;\,\forall x \in R$
D) $y = - {x^4} - 4{x^2} + 1 = - {\left( {{x^2} + 2} \right)^2} + 5$. Thấy ngay tại X = 0 thì Y = 1 >0 nên loại ngay đáp án này.
Vậy đáp án đúng là C.

Câu 21
Tìm điều kiện của b và c để đồ thị hàm số $y = {x^4} + b{x^2} + c$ chỉ có một điểm cực trị có tọa độ là $\left( {0; - 1} \right)$.
A. $b \ge 0$ và c=-1
B. b<0 và c=-1
C. $b \ge 0$ và c>0
D. b>0 và c tùy ý

Hướng dẫn
Cần xem lại bảng trang 38 sách giáo khoa Giải tích 12 cơ bản.
Hàm số đã cho đã thỏa mãn điều kiện $a = 1 > 0$, nên để đồ thị hàm số đã cho chỉ có một điểm cực tiểu thì phương trình y'=0 có một nghiệm duy nhất.
Mà $y' = 4{x^3} + 2bx = 2x\left( {2{x^2} + b} \right)$.
Để phương trình y'=0 có nghiệm duy nhất thì phương trình $2{x^2} + b = 0$ vô nghiệm hoặc có nghiệm kép bằng 0.
Khi đó $b \ge 0$. Còn điều kiện của c thì sao, đề đã cho tọa độ của điểm cực tiểu, từ đó ta có thể dễ dàng tìm được c=-1.

Câu 22
Đường cong trong hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D. Hỏi đó là hàm số nào?

A. $y = - {x^4} + 2{x^2} - 3$
B. $y = - {x^4} + 2{x^2}$
C. $y = {x^4} - 2{x^2}$
D. $y = {x^4} - 2{x^2} - 3$

Hướng dẫn
Từ đồ thị của hàm số ta thấy:
+ Đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ nên loại phương án A và D.
+ $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = + \infty$ suy ra hệ số của $x^4$ dương.
Vậy C là phương án đúng.

Câu 23
Đường cong trong hình bên dưới là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi đó là hàm số nào?

A. $y = - {x^4} + 2{x^2} + 3$
B. $y = {x^4} + 2{x^2} + 3$
C. $y = {x^4} - 2{x^2} - 3$
D. $y = - {x^4} - 2{x^2} + 3$

Hướng dẫn
Dựa vào đồ thị hàm số đã cho ta có các nhận xét sau:
- Đồ thị hàm số quay xuống nên ta loại đáp án B,C
- Các điểm $\left( { - 1;4} \right),\left( {1;4} \right),\left( {0;3} \right)$ lần lượt là các điểm cực trị của hàm số.
Các điểm đó có hoành độ là nghiệm của phương trình y'=0.

Câu 24
Cho hàm số y=f(x) liên tục trên R có bảng biến thiên:

Khẳng định nào sau đây là sai?
A. Hàm số có hai điểm cực tiểu, một điểm cực đại
B. Hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng -4
C. Hàm số đồng biến trên (1;2)
D. Đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng.

Hướng dẫn
Nhìn vào bảng biến thiên sẽ thấy được hàm số có 2 điểm cực tiểu là $\left( { - 1; - 4} \right)$ và $\left( {1; - 4} \right)$ điểm cực đại là $\left( {0; - 3} \right)$.
Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng -4 khi $x = - 1,x = 1$.
Hàm số đồng biến trên $\left( {1; + \infty } \right)$ nên hàm số sẽ đồng biến trên (1; 2).
Đồ thị hàm số nhận trục tung là trục đối xứng, không có tâm đối xứng.

Câu 25
Cho hàm số $y = - 2{x^4} + 3{x^2} + 5$. Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?
A. Đồ thị hàm số luôn nhận trục tung làm trục đối xứng.
B. Đồ thị hàm số có 3 điểm điểm cực trị.
C. Đồ thị hàm số không cắt trục hoành.
D. Đồ thị hàm số luôn đi qua điểm A(1; 6)

Hướng dẫn
Kiểm tra tính đúng sai của các khẳng định.
A. Khẳng định đúng vì đồ thị hàm trùng phương luôn nhận trục tung là trục đối xứng .
B. Khẳng định sai vì phương trình $y' = 8{x^3} + 6x = 0$ luôn có 3 nghiệm phân biệt nên đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị.
C. Khẳng định sai.
D. Khẳng định đúng.

Câu 26
Cho hàm số $y = f(x)$ xác định, liên tục trên R và có bảng biến thiên như sau:

Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?
A. M(0; 1) được gọi là điểm cực tiểu của hàm số.
B. x0=-1 được gọi là điểm cực đại của hàm số.
C. f(0)=1 được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số.
D. f(1)=2 được gọi là giá trị cực đại của hàm số.

Hướng dẫn
Khẳng định C là khẳng định sai vì:
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số không có giá trị nhỏ nhất, f(0)=1 là giá trị cực tiểu của hàm số.

Câu 27
Đường cong trong hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi đó là hàm số nào?

A. $y = - {x^4} + 2{x^2}$
B. $y = {x^4} - 2{x^2} - 3$
C. $y = {x^4} - 2{x^2}$
D. $y = - {x^4} + 2{x^2} - 3$

Hướng dẫn
Ta có:$\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } = + \infty$ nên hệ số của $x^4$ dương loại A và D.
Đồ thị hàm số đi qua điểm (0;0), loại B.
Vậy đáp án đúng là C.

Câu 28
Đường cong dưới đây là đồ thị của một trong bốn hàm số được liệt kê trong bốn phương án A, B, C, D. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?

A. $y = - {x^3} + 3{x^2}$
B. $y = {x^4} - 2{x^2} + 2$
C. $y = {x^4} + 2{x^2}$
D. $y = {x^4} - 2{x^2}$

Hướng dẫn
Loại A vì đây là dạng đồ thị của hàm số bậc bốn trùng phương.
Loại C vì hàm số $y = {x^4} + 2{x^2}$ chỉ có 1 cực trị tại x=0.
Loại B vì đồ thị hàm số đi qua điểm O(0;0).
Vậy D là phương án đúng.

Câu 29
Cho hàm số $y = - 2{x^4} + 3{x^2} + 5$. Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?
A. Đồ thị hàm số nhận trục tung là trục đối xứng
B. Đồ thị hàm số có ba điểm cực trị
C. Đồ thị hàm số không cắt trục hoành
D. Đồ thị hàm số luôn đi qua điểm A(1;6)

Hướng dẫn
Ta có A đúng vì hàm số bậc bốn trùng phương nhận trục tung là trục đối xứng.
Mặt khác $y' = - 8{x^3} + 6x = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 0}\\ {x = \pm \frac{{\sqrt 3 }}{2}} \end{array}} \right.$ nên đồ thị hàm số đã cho có 3 điểm cực trị nên B đúng.
Đáp án D đúng vì với $x = 1 \Rightarrow y = 6.$
Đáp án C sai vì phương trình $- 2{x^4} + 3{x^2} + 5 = 0$ có nghiệm nên đồ thị hàm số cắt trục hoành.

Câu 30
Cho hàm số $y=f(x)$ có đồ thị như hình vẽ bên. Xác định tất cả các giá trị của tham số m để phương trình $\left| {f\left( x \right)} \right| = m$ có 6 nghiệm thực phân biệt.

A. 0<m<4
B. 0<m<3
C. 3<m<4
D. m>4

Hướng dẫn

Ta có đồ thị hàm số y = |f(x)| như hình bên (nét liền)
Phương trình |f(x)|=m có 6 nghiệm thực phân biệt khi và chỉ khi đường thẳng y =m cắt đồ thị hàm số y=|f(x)| tại 6 điểm phân biệt.
Điều này xảy ra khi: 3<m<4.

Câu 31
Cho hàm số $y = \frac{1}{2}{x^4} - {x^2}.$ Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A. Hàm số đạt cực đại tại các điểm $x = 1;x = - 1.$
B. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng với giá trị cực đại
C. Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x=0.
D. Hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng với giá trị cực tiểu

Hướng dẫn
$y = \frac{1}{2}{x^4} - {x^2} \Rightarrow y' = 2{x^3} - 2x,y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = \pm 1 \end{array} \right.$
Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên suy ra đáp án D là đáp án đúng.

Câu 32
Đường cong trong hình bên là đồ thị của một trong bốn hàm số được liệt kê bên dưới. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?

A. $y = {x^4} + 2x + 1$
B. $y = - {x^4} + 1$
C. $y = {x^4} + 1$
D. $y = - {x^4} + 2x + 1$

Hướng dẫn

Dựa vào đồ thị hàm số, ta thấy $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - \infty \Rightarrow$ Hệ số a<0 và đồ thị hàm số có ba điểm cực trị nên hàm số cần tìm $y = - {x^4} + 2{x^2} + 1.$