A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm 1.1. Định nghĩa : Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) và x$_0$ ∈ (a;b), đạo hàm của hàm số tại điểm x$_0$ là : $f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \,{x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}$ 1.2. Chú ý : - Nếu kí hiệu $\Delta x = x - {x_0}\,\,;\,\,\Delta y = f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - f\left( {{x_0}} \right)$thì $f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \,{x_0}} \frac{{f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to \,0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}$ - Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x$_0$ thì nó liên tục tại điểm đó. 2. Ý nghĩa của đạo hàm 2.1. Ý nghĩa hình học: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C) - f'(x$_0$) là hệ số góc của tiếp tuyến đồ thị (C) của hàm số y = f(x) tại ${M_0}\left( {{x_0}\,,\,{y_0}} \right) \in \left( C \right)$. - Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm ${M_0}\left( {{x_0}\,,\,{y_0}} \right) \in \left( C \right)$là $y = f'\left( {{x_0}} \right) \cdot \left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}$ 2.2. Ý nghĩa vật lí : - Vận tốc tức thời của chuyển động thẳng xác định bởi phương trình s = s(t) tại thời điểm ${t_0}$ là $v\left( {{t_0}} \right) = s'\left( {{t_0}} \right)$. - Cường độ tức thời của điện lượng Q = Q(t) tại thời điểm ${t_0}$ là : $I\left( {{t_0}} \right) = Q'\left( {{t_0}} \right)$. 3. Qui tắc tính đạo hàm và công thức tính đạo hàm 3.1. Các quy tắc : Cho u = u(x); v = v(x); C là hằng số . - (u ± v)’ = u’ ± v’ - (uv)’ = u’v + v’u → (Cu)’ = Cu’ - $\left( {\frac{u}{v}} \right) = \frac{{u'.v - v'.u}}{{{v^2}}}\,\,\,,\,\,\left( {v \ne 0} \right) \Rightarrow \,\,{\left( {\frac{C}{u}} \right)^\prime } = - \frac{{C.u'}}{{{u^2}}}$ - Nếu y = f(u), u = u(x) → ${y'_x} = {y'_u}.{u'_x}$ . 3.2. Các công thức : - (C)’ = 0; (x)’ = 1 - ${\left( {{x^n}} \right)^\prime } = n.{x^{n - 1}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,{\left( {{u^n}} \right)^\prime } = n.{u^{n - 1}}.u'\,\,\,\,\,,\,\,\,\left( {n \in N\,\,,\,\,n \ge 2} \right)$ - ${\left( {\sqrt x } \right)^\prime } = \frac{1}{{2\sqrt x }}\,\,\,\,,\,\,\left( {x > 0} \right) \Rightarrow \,\,\,{\left( {\sqrt u } \right)^\prime } = \frac{{u'\,}}{{2\sqrt u }}\,\,\,\,\,,\,\,\left( {u > 0} \right)$ - (sinx)’ = c-sx → (sinu)’ = u’c-su - (c-sx) = - sinx → (c-su) = - u’.sinu - ${\left( {\tan x} \right)^\prime } = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,{\left( {\tan u} \right)^\prime } = \frac{{u'}}{{{{\cos }^2}u}}\,$ - ${\left( {\cot x} \right)^\prime } = - \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,{\left( {\cot u} \right)^\prime } = - \frac{{u'}}{{{{\sin }^2}u}}\,$ 4. Vi phân 4.1. Định nghĩa : - Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm tại ${x_0}$ vi phân của hàm số y = f(x) tại điểm ${x_0}$ là : $df\left( {{x_0}} \right) = f'\left( {{x_0}} \right).\Delta x$ . - Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f’(x) thì tích f’(x).∆x được gọi là vi phân của hàm số y = f(x). Kí hiệu: df(x) = f’(x).∆x hay dy = y’.dx . 4.2. Công thức tính gần đúng: $f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) \approx f\left( {{x_0}} \right) + f'\left( {{x_0}} \right).\Delta x$ 5. đạo hàm cấp cao 5.1. đạo hàm cấp 2 : - Định nghĩa : f”(x) = [f’(x)]’ - Ý nghĩa cơ học: Gia tốc tức thời của chuyển động s = f(t) tại thời điểm ${t_0}$ là $a\left( {{t_0}} \right) = f''\left( {{t_0}} \right)$. 5.2. đạo hàm cấp cao : ${f^{\left( n \right)}}\left( x \right) = {\left[ {{f^{\left( {n - 1} \right)}}\left( x \right)} \right]^\prime }\,\,\,,\,\,\,\left( {n \in N,\,\,n \ge 2} \right)$ . B. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP : 1. Tìm đạo hàm theo định nghĩa 1.1. Phương pháp : Để tìm đạo hàm theo định nghĩa ta có 2 cách sau : - Cách 1 : theo quy tắc - Bước 1 : Cho x một số gia ∆x và tìm số gia ∆y tìm ∆y = f(x + ∆x) – f(x). Lập tỉ số $\frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}$ - Bước 2 : Tìm giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to \,0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}$ - Cách 2 : Áp dụng công thức: $f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \,{x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}$. 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đường c-ng 2.1. Phương pháp : - Khi biết tiếp điểm : Tiếp tuyến của đồ thị y = f(x) tại $M\left( {{x_0}\,\,;\,\,{y_0}} \right)$, có phương trình là : $y = f'\left( {{x_0}} \right).\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}$ ( 1 ) . - Khi biết hệ số góc của tiếp tuyến: Nếu tiếp tuyến của đồ thị y = f(x) có hệ số góc là thì ta gọi ${M_0}\left( {{x_0}\,\,;\,{y_0}} \right)$là tiếp điểm $ \Rightarrow f'\left( {{x_0}} \right) = k$ (1) - Giải phương trình (1) tìm ${x_0}$ suy ra ${y_0} = f\left( {{x_0}} \right)$ - Phương trình tiếp tuyến phải tìm có dạng : $y = k\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}$ * Chú ý : - Hệ số góc của tiếp tuyến tại $M\left( {{x_0}\,,\,{y_0}} \right) \in \left( C \right)$là $k = f'\left( {{x_0}} \right) = \tan \alpha $ Tr-ng đó α là góc giữa chiều dương của trục h-ành và tiếp tuyến . - Hai đường thẳng s-ng s-ng với nhau thì hệ số góc của chúng bằng nhau . - Hai đường thẳng vuông góc nếu tích hệ số góc của chúng bằng - 1 . - Biết tiếp tuyến đi qua điểm $A\left( {{x_1}\,;\,{y_1}} \right)$: - Viết phương trình tiếp tuyến của y = f(x) tại ${M_0}\left( {{x_0}\,\,;\,\,{y_0}} \right)$: $y = f'\left( {{x_0}} \right).\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)$ - Vì tiếp tuyến đi qua \[A\left( {{x_1}\,;\,{y_1}} \right) \Rightarrow {y_1} = f'\left( {{x_0}} \right).\left( {{x_1} - {x_0}} \right) + f\left( {{x_0}} \right)\,\,\,\left( * \right)\] - Giải phương trình(*) tìm ${x_0}$ thế vào (1) suy ra phương trình tiếp tuyến . 3. Tìm vi phân của hàm số và tính gần đúng nhờ vi phân 3.1. Phương pháp : Dựa theo định nghĩa và công thức sau : - Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f’(x) thì tích f’(x).∆x được gọi là vi phân của hàm số y = f(x) . Kí hiệu : df(x) = f’(x).∆x = f’(x).dx hay dy = y’.dx - $f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) \approx f\left( {{x_0}} \right) + f'\left( {{x_0}} \right).\Delta x$ 4. đạo hàm cấp cao 4.1. Phương pháp : - Dựa theo các định nghĩa sau : - đạo hàm cấp 2 : $f''\left( x \right) = {\left[ {f'\left( x \right)} \right]^\prime }$ - đạo hàm cấp cao : ${f^{\left( n \right)}}\left( x \right) = \left[ {{f^{\left( {n - 1} \right)}}\left( x \right)} \right]'\,\,\,,\,\,\,\left( {n \in N\,,\,\,n \ge 2} \right)$ . - Chú ý : Để tìm công thức tính đạo hàm cấp n của một hàm số ta tìm đạo hàm cấp 1 , 2 , 3 … sau đó dự đ-án công thức tính đạo hàm cấp n và chứng minh công thức đó bằng phương pháp quy nạp . - Chú ý : Khi tìm đạo hàm cấp n của một hàm số , nếu được ta hãy biến đổi hàm số đã Cho thành tổng của các hàm số có một tr-ng các dạng : $\frac{1}{{ax + b}}\,\,;\,\,\sin ax\,\,;\,\,\cos ax$ rồi áp dụng các công thức ở ví dụ trên , dự đ-án ra công thức đạo hàm cấp n của hàm số đã Cho và chứng minh lại bằng quy nạp (nếu cần) .
