Công thức lượng giác là kiến thức chúng ta được làm quen từ năm học lớp 8. Lên đến bậc trung học phổ thông, các bạn sẽ được tìm hiểu sâu rộng hơn về lượng giác và các dạng bài liên quan. Kiến thức về công thức lượng giác có tính ứng dụng rộng rãi không chỉ trên trường lớp mà còn ở bên ngoài thực tế. Ở bài viết dưới đây, các bạn hãy cùng Vieclam123.vn tìm hiểu đôi nét về các công thức tính lượng giác và những phương pháp học nhanh nhất. 1. Hệ thức cơ bản: $\begin{array}{l} \to \,{\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1\\ \to \,tgx = \frac{{\sin x}}{{\cos x}}\\ \to \,\cot gx = \frac{{\cos x}}{{\sin x}}\\ \to \,tgx.\cot gx = 1\\ \to \,1 + t{g^2}x = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\\ \to \,1 + \cot {g^2}x = \frac{1}{{{{\sin }^2}x}} \end{array}$ 2. Cung liên kết: Cung đối: cos(- x) = cos(x) sin(- x) = - sin(x) tan(- x) = - tan(x) cot(- x) = - cot(x) Cung bù: sin(π – x) = sin(x) cos(π – x) = - cos(x) tan(π – x) = - tan(x) cot(π – x) = - tan(x) Cung phụ: sin(π/2 – x) = cos(x) cos(π/2 – x) = sin(x) tan(π/2 – x) = cot(x) cot(π/2 – x) = tan(x) Cung hơn kém π: sin(π + x) = - sin(x) cos(π + x) = - cos(x) tan(π + x) = tan(x) cot(π + x) = cot(x) Cung hơn kém π/2 sin(π/2 + x) = cos(x) cos(π/2 + x) = - sin(x) tan(π/2 + x) = - cot(x) cot(π/2 + x) = - tan(x) 3. Công thức cộng: sin(x ± y) = sin(x)cos(y) ± sin(y)cos(x) sin(x ± y) = cos(x)cos(y) $ \mp $ sin(y)sin(x) $tg(x \pm y) = \frac{{tgx \pm tgy}}{{1 \mp tgxtgy}}$ 4. Công thức nhân đôi: $\begin{array}{l} \sin 2x = 2\sin x\cos x\\ \cos 2x = 2{\cos ^2}x - 1\\ = 1 - 2{\sin ^2}x = {\cos ^2}x - {\sin ^2}x\\ tg2x = \frac{{2tgx}}{{1 - t{g^2}x}}\\ {\cos ^2}x = \frac{{1 + \cos 2x}}{2}\\ {\sin ^2}x = \frac{{1 - \cos 2x}}{2} \end{array}$ 5. Công thức nhân ba: $\begin{array}{l} \sin 3x = 3\sin x - 4{\sin ^3}x\\ \cos 3x = 4{\cos ^3}x - 3\cos x\\ tg3x = \frac{{3tgx - t{g^3}x}}{{1 - 3t{g^2}x}}\\ {\cos ^3}x = \frac{{3\cos x + \cos 3x}}{4}\\ {\sin ^3}x = \frac{{3\sin x - \sin 3x}}{4} \end{array}$ 6. Công thức biểu diễn theo sinx, cosx theo $t = tg\frac{x}{2}$ $\begin{array}{l} \sin x = \frac{{2t}}{{1 + {t^2}}}\\ \cos x = \frac{{1 - {t^2}}}{{1 + {t^2}}}\\ tgx = \frac{{2t}}{{1 - {t^2}}} \end{array}$ 7. Công thức biến đổi: a/Tích thành tổng: $\begin{array}{l} \cos x.\cos y = \frac{1}{2}\left[ {\cos (x - y) + \cos (x + y)} \right]\\ \sin x\sin y = \frac{1}{2}\left[ {\cos (x - y) - \cos (x + y)} \right]\\ \sin x\cos y = \frac{1}{2}\left[ {\sin (x - y) + \sin (x + y)} \right] \end{array}$ b/Tổng thành tích: $\begin{array}{l} \cos x + \cos y = 2\cos \frac{{x + y}}{2}\cos \frac{{x - y}}{2}\\ \cos x - \cos y = - 2\sin \frac{{x + y}}{2}\sin \frac{{x - y}}{2}\\ \sin x + \sin y = 2\sin \frac{{x + y}}{2}\cos \frac{{x - y}}{2}\\ \sin x - \sin y = 2\cos \frac{{x + y}}{2}\sin \frac{{x - y}}{2}\\ tgx + tgy = \frac{{\sin (x + y)}}{{\cos x\cos y}}\\ tgx - tgy = \frac{{\sin (x - y)}}{{\cos x\cos y}}\\ \cot gx + \cot gy = \frac{{\sin (x + y)}}{{\sin x\sin y}}\\ \cot gx - \cot gy = \frac{{\sin (x - y)}}{{\sin x\sin y}} \end{array}$ Đặc biệt: $\begin{array}{l} \sin x + \cos x = \sqrt 2 \sin (x + \frac{\pi }{4}) = \sqrt 2 \cos (x - \frac{\pi }{4})\\ \sin x - \cos x = \sqrt 2 \sin (x - \frac{\pi }{4}) = - \sqrt 2 \cos (x + \frac{\pi }{4})\\ 1 \pm \sin 2x = {(\sin x \pm \cos x)^2} \end{array}$ 8. Phương trình cơ bản: $\begin{array}{l} a/\sin x = \sin u \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = u + k2\pi \\ x = \pi - x + k2\pi \end{array} \right.{\rm{ }}\left( {{\rm{k}} \in {\rm{Z}}} \right)\\ \sin x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \\ \sin x = - 1 \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \\ \sin x = 0 \Leftrightarrow x = k\pi \\ b/\cos x = \cos u \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = u + k2\pi \\ x = - u + k2\pi \end{array} \right.{\rm{ (k}} \in {\rm{Z)}}\\ \cos x = 1 \Leftrightarrow x = + k2\pi \\ \cos x = - 1 \Leftrightarrow x = \pi + k2\pi \\ \cos x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2}k\pi \\ c/tgx = tgu \Leftrightarrow x = u + k\pi {\rm{ }}(k \in Z)\\ d/\cot gx = \cot gu \Leftrightarrow x = u + k\pi {\rm{ }}(k \in Z) \end{array}$ 9. Phương trình bậc n theo một hàm số lượng giác: Cách giải: Đặt t = sinx (hoặc cosx, tgx, cotgx) ta chuyển về phương trình: ${a_n}{t^n} + {a_{n - 1}}{t^{n - 1}} + ...... + {a_0} = 0$ Chú ý: nếu đặt t = sinx hoặc cosx thí chú ý điều kiện – 1 ≤ t ≤ 1 10. Phương trình bậc nhất theo sinx và cosx: asin(x) + bcos(x) = c Điều kiện để có nghiệm: ${a^2} + {b^2} \ge {c^2}$ Cách giải: Chia hai vế cho $\sqrt {{a^2} + {b^2}} $ và sau đó đưa về phương trình lượng giác cơ bản 11. Phương trình đẳng cấp bậc hai đối với sinx và cosx: $a{\sin ^2}x + b\sin x\cos x + c{\cos ^2}x + d = 0$ Cách giải: *Xét $\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi $có là nghiệmkhông? *Xét cos(x) ≠ 0 chia 2 vế chia cho cos2x và đặt t= tgx Chú ý: $d\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} = d(1 + t{g^2}x)$ 12. Phương trình dạng: $a.(\sin x \pm \cos x) + b\sin x.\cos x + c = 0$ Cách giải: Đặt $\begin{array}{l} t = \sin x \pm \cos x = \sqrt 2 \sin (x \pm \frac{\pi }{4}) \Rightarrow - \sqrt 2 \le t \le \sqrt 2 \\ \Rightarrow \sin x.\cos x = \frac{{{t^2} - 1}}{2}{\rm{ }}(\sin x.\cos x = \frac{{1 - {t^2}}}{2}) \end{array}$ và giải phương trình bậc hai theo t 13. Định lý cosin: $\begin{array}{l} {a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A\\ {b^2} = {a^2} + {c^2} - 2ac\cos B\\ {c^2} = {a^2} + {b^2} - 2ab\cos C\\ \cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}\\ \cos B = \frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}}\\ \cos C = \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}} \end{array}$ 14. Định lý hàm số sin: $\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = 2R$ 15. Công thức tính độ dài đường trung tuyến: $\begin{array}{l} m_a^2 = \frac{{{b^2} + {c^2}}}{2} - \frac{{{a^2}}}{4}\\ m_b^2 = \frac{{{a^2} + {c^2}}}{2} - \frac{{{b^2}}}{4}\\ m_c^2 = \frac{{{a^2} + {b^2}}}{2} - \frac{{{c^2}}}{4} \end{array}$ 16. Công thức độ dài đường phân giác trong: $\begin{array}{l} {l_a} = \frac{{2bc\cos \frac{A}{2}}}{{b + c}}\\ {l_b} = \frac{{2ac\cos \frac{B}{2}}}{{a + c}}\\ {l_c} = \frac{{2ab\cos \frac{C}{2}}}{{a + b}} \end{array}$ Công thức tính diện tích tam giác: $\begin{array}{l} S = \frac{1}{2}a.{h_a} = \frac{1}{2}b.{h_b} = \frac{1}{2}c.{h_c}\\ S = \frac{1}{2}bc.\sin A = \frac{1}{2}ab.\sin C = \frac{1}{2}ac.\sin B\\ S = p.r = \frac{{abc}}{{4R}}\\ S = \sqrt {p(p - a)(p - b)(p - c)} \end{array}$
