Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một hàm số

Vận tốc của vật được tính theo công thức \(v\left( t \right) = 10 + {t^2} - 7t\left( {m/s} \right)\)
Suy ra quãng đường vật đi được tính theo công thức \(S\left( t \right) = \int {v\left( t \right)dt} = \frac{{{t^3}}}{3} - \frac{7}{2}{t^2} + 10t\left( m \right)\)
Ta có \(S'\left( t \right) = {t^2} - 7t + 10 \Rightarrow S'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow {t^2} - 7t + 10 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 2}\\{t = 5}\end{array}} \right.\)
Suy ra \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{S\left( 0 \right) = 0}\\{S\left( 2 \right) = \frac{{26}}{3}}\\{S\left( 5 \right) = \frac{{25}}{6}}\\{S\left( 6 \right) = 6}\end{array}} \right.\) \( \Rightarrow \mathop {Max}\limits_{\left[ {0;6} \right]} S\left( t \right) = S\left( 2 \right) = \frac{{26}}{3}\)

 

Ta có \(y = \left| {{x^3} - 3{x^2} + 2} \right| \ge 0,\forall x \in \left[ { - 2;2} \right]\)
Mặt khác \(y = \left| {{x^3} - 3{x^2} + 2} \right| = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{x = 1 - \sqrt 3 }\\{x = 1 + \sqrt 3 }\end{array}} \right.\) mà \(\left\{ {1;1 - \sqrt 3 } \right\} \in \left[ { - 2;2} \right]\)
Suy ra \(\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 2;2} \right]} y = y\left( 1 \right) = y\left( {1 - \sqrt 3 } \right) = 0\)

 

Xét hàm số \(y = - x + 3 - \frac{1}{{x + 2}}\)
\(\begin{array}{l}y' = - 1 + \frac{1}{{{{(x + 2)}^2}}}\\y' = 0 \Leftrightarrow \frac{{ - {{(x + 2)}^2} + 1}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \frac{{ - {x^2} - 4x - 3}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = - 3\end{array} \right.\end{array}\)
Bảng biến thiên:

 

\(y = {\sin ^3}x - \cos 2x + \sin x + 2 = {\sin ^3}x + 2{\sin ^2}x - 1 + \sin x + 2 = {\sin ^3}x + 2{\sin ^2}x + \sin x + 1.\)
Đặt \(t = {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}\) khi đó hàm số trở thành \(y = {t^3} + 2{t^2} + t + 1\) xác định và liên tục trên \(\left[ { - 1;1} \right].\)
Ta có: \(y' = 3{t^2} + 4t + 1\) và \(y' = 0 \Leftrightarrow 3{t^2} + 4t + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = - 1\\t = - \frac{1}{3}\end{array} \right.\)
Ta có: \(y\left( { - 1} \right) = 1;\,\,y\left( 1 \right) = 5;\,\,y\left( { - \frac{1}{3}} \right) = \frac{{23}}{{27}} \Rightarrow \,\,\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} y = \frac{{23}}{{27}}.\)

 

\(f\left( x \right) = 2{\cos ^3}x - \cos 2x = 2{\cos ^3}x - 2{\cos ^2}x + 1\)
Đặt \(t = \cos x,t \in \left[ {\frac{1}{2};1} \right]\) ta có:
\(\begin{array}{l}g(t) = 2{t^3} - 2{t^2} + 1 \Rightarrow g'(t) = 6{t^2} - 4t.\\g'(t) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 0\\t = \frac{2}{3}\end{array} \right.\end{array}\)
Trên đoạn \(\left[ {\frac{1}{2};1} \right],\) ta có: \(g\left( {\frac{1}{2}} \right) = \frac{3}{4};\,g(1) = 1;\,g\left( {\frac{2}{3}} \right) = \frac{{19}}{{27}}.\)
Vậy: \(\mathop {\max }\limits_{x \in D} f(x) = \max g(t) = 1;\,\mathop {\min }\limits_{x \in D} f(x) = \min g(t) = \frac{{19}}{{27}}.\)

 

Kiểm tra 4 phương án ta có:
Hàm số \(y = - {x^2} + 2\) có giá trị lớn nhất, không có giá trị nhỏ nhất
Hàm số \(y = {x^3} - 9{x^2} + 16\) và \(y = \frac{{x - 9}}{{2x + 1}}\) không có giá trị nhỏ nhất và lớn nhất
Hàm số \(y = \frac{1}{4}{x^4} - 3{x^2} + 1\) có giá trị nhỏ nhất, không có giá trị lớn nhất.

 

Hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục, đồng biến trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\) thì hàm số \(y = f\left( x \right)\) có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\).

 

\(y = f\left( x \right) = \frac{{{{\ln }^2}x}}{x} \Rightarrow {f^'}\left( x \right) = \frac{{2\ln {\rm{x}} - {{\ln }^2}x}}{{{x^2}}} \Rightarrow f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\ln {\rm{x}} = 0\\\ln {\rm{x}} = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = {e^2}\end{array} \right.\)
Ta có: \(f\left( 1 \right) = 0,\,\,f\left( {{e^2}} \right) = \frac{4}{{{e^2}}},f\left( {{e^3}} \right) = \frac{9}{{{e^3}}} \Rightarrow \frac{4}{{{e^2}}} = \frac{m}{{{e^n}}} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 4\\n = 2\end{array} \right. \Rightarrow S = {m^2} + 2{n^3} = 32.\)\({a^2} + {b^2}.\)

 

Xét hàm số \(y = - {x^3} - 3{x^2} + m\) trên [-1;1].
\(\begin{array}{l} y' = - 3{x^2} - 6x\\ y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = - 2 \end{array} \right. \end{array}\)
Vì \(x \in \left[ { - 1;1} \right] \Rightarrow x = 0\)
\(\begin{array}{l} y( - 1) = - 2 + m\\ y(0) = m\\ y(1) = - 4 + m \end{array}\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số trên [-1;1] là \(y(0) = - 4 + m\)
Ta có: \(- 4 + m = 0 \Leftrightarrow m = 4\).

 

\(y' = 3{x^2} - 4x - 4\)
\(y' = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 4x - 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 2\\ x = - \frac{2}{3} \end{array} \right.\)
\(y(1) = - 4;y(2) = - 7;y(3) = - 2\)
Vậy \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {1;3} \right]} y = - 2\).

 

TXĐ: \(D = \left[ { - 3\sqrt 2 ;3\sqrt 2 } \right]\)
\(\begin{array}{l} y' = 1 - \frac{x}{{\sqrt {18 - {x^2}} }} = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = \sqrt {18 - {x^2}} \\ - 3\sqrt 2 < x < 3\sqrt 2 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ge 0\\ {x^2} = 18 - {x^2} \end{array} \right. \Leftrightarrow x = 3. \end{array}\)

 

TXĐ : \(D = \left[ { - \infty ;\frac{5}{4}} \right]\) nên hàm số liên tục và xác định trên [-1;1].
Đạo hàm : \(y' = - \frac{2}{{\sqrt {5 - 4x} }} < 0,\forall x \in \left( { - \infty ;\frac{5}{4}} \right)\) suy ra hàm số nghịch biến trên \(\left( { - \infty ;\frac{5}{4}} \right)\) nên nghịch biến trên [-1;1].
Vậy: \(M = y\left( { - 1} \right) = 3.\)

 

\(\\ y' = 3{x^2} + 6x - 9,y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 1 \in \left[ {0;3} \right]\\ x = - 3 \notin \left[ {0;3} \right] \end{array} \right. \\ \\ \begin{array}{l} f\left( 0 \right) = 1,f\left( 1 \right) = - 4,f\left( 3 \right) = 28\\ \Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left[ {0;3} \right]} f\left( x \right) = 28,\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;3} \right]} f\left( x \right) = - 4 \end{array}\)

 

Hàm số \(y = \frac{{\sqrt {1 - x} - 2{x^2}}}{{\sqrt x + 1}}.\)
Tập xác định: D =[0; 1]
Do \(0 \le x \le 1\) nên \(y = \frac{{\sqrt {1 - x} - 2{x^2}}}{{\sqrt x + 1}} \le \frac{{\sqrt {1 - x} }}{{\sqrt x + 1}} \le \frac{{\sqrt 1 }}{{\sqrt 1 }} = 1.\)
Dấu bằng xảy ra khi x=0, khi đó y=1.
Mặt khác \(0 \le x \le 1\) với thì \(y = \frac{{\sqrt {1 - x} - 2{x^2}}}{{\sqrt x + 1}} \ge \frac{{\sqrt {1 - x} - {{2.1}^2}}}{{\sqrt x + 1}} = - 1.\)
Dấu bằng xảy ra khi x=1, khi đó y=-1.
Vậy M=1, m=-1 suy ra M-m=2.

 

Đặt \(t = \cos x \in [ - 1;1],\) khi đó \(f(t) = t + \sqrt {1 - {t^2}} \Rightarrow f'(t) = 1 - \frac{t}{{\sqrt {1 - {t^2}} }};f'(t) = 0 \Leftrightarrow t = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\)
Tính các giá trị \(f( - 1) = - 1,f(1) = 1,f\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right) = \sqrt 2 .\)
Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l} M = \sqrt 2 \\ m = 0 \end{array} \right. \Rightarrow M + m = \sqrt 2 - 1.\)

 

Xét hàm số \(f(x) = 2{x^2} - 3x - 1\) trên \(\left[ {\frac{1}{2};2} \right].\) Ta có \(f'(x) = 4x - 3 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{3}{4}\)
Lại có: \(f\left( {\frac{1}{2}} \right) = - 2;f\left( {\frac{3}{4}} \right) = \frac{{ - 17}}{8};f(1) = - 2\)
\(\Rightarrow f(x) \in \left[ {\frac{{ - 17}}{8}; - 2} \right] \Rightarrow \left| {f(x)} \right| \in \left[ {2;\frac{{17}}{8}} \right]\)
Do đó \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {\frac{1}{2};2} \right]} y = \frac{{17}}{8}.\)

 

Ta có \(x + y = 2\left( {\sqrt {x - 3} + \sqrt {y + 3} } \right)\) \(\Leftrightarrow {\left( {x + y} \right)^2} = 4\left( {x + y} \right) + 8\sqrt {x - 3} .\sqrt {y + 3} \ge 4\left( {x + y} \right) \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x + y \ge 4}\\ {x + y \le 0} \end{array}} \right.\)
Mặt khác \(x + y = 2\left( {\sqrt {x - 3} + \sqrt {y + 3} } \right) \le 2\sqrt {2\left( {x + y} \right)} \Leftrightarrow x + y \le 8 \Rightarrow x + y \in \left[ {4;8} \right]\)
Xét biểu thức \(P = 4\left( {{x^2} + {y^2}} \right) + 15xy = 4{\left( {x + y} \right)^2} + 7xy\)
Đặt \(t = x + y \in \left[ {4;8} \right] \Rightarrow P = 4{t^2} + 7xy\).

 

Lại có:
\(\begin{array}{l} \left( {x + 3} \right)\left( {y + 3} \right) \ge 0 \Leftrightarrow xy \ge - 3\left( {x + y} \right) - 9\\ \Rightarrow P \ge 4{\left( {x + y} \right)^2} - 21\left( {x + y} \right) - 63 = 4{t^2} - 21t - 63 \end{array}$\)
Xét hàm số \(f\left( t \right) = 4{t^2} - 21t - 63\) trên đoạn [4;8] suy ra \({P_{\min }} = f\left( 7 \right) = - 83\)

 

Xét hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{{x^2} - 3x}}{{x + 1}}\) trên đoạn [0;3] ta có: \(f'(x)=\frac{x^2+2x-3}{(x+1)^2}; \forall x\in [0;3]\)
Phương trình \(f'(x)=0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 0 \le x \le 3\\ {x^2} + 2x - 3 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow x = 1.\)
Tính giá trị \(f\left( 0 \right) = 0,\,\,f\left( 1 \right) = - 1,\,\,f\left( 3 \right) = 0.\)
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [0;3] là 0.

 

\(\left\{ \begin{array}{l} {x^3} + 3{x^2} = {y^3} - 3x - 1\,\,\,(1)\\ {x^2} + x + y = 5\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2) \end{array} \right.\)
Biến đổi (1) thành:
\({x^3} + 3{x^2} + 3x + 1 = {y^3}\)
\(\Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^3} = {y^3}\,(3)\)
Xét hàm số:\(f(t) = {t^3}\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\)
\(\left( 3 \right) \Rightarrow f(x + 1) = f(y) \Leftrightarrow y = x + 1\)
\({x^2} + x - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 1 \Rightarrow y = 2\\ x = - 2 \Rightarrow y = - 1 \end{array} \right.\)
Vậy hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm là (1;2) và (-2;-1)
Vậy P=4

 

\(\begin{array}{l} y' = - 2.4{(1 - 2x)^3} = - 8{(1 - 2x)^3}\\ y'' = - 8\left[ { - 2.3{{(1 - 2x)}^2}} \right] = 48{(1 - 2x)^2}\\ \Rightarrow y''(2) = 432 \end{array}\)
\(\begin{array}{l} y' = - 2.4{(1 - 2x)^3} = - 8{(1 - 2x)^3}\\ y'' = - 8\left[ { - 2.3{{(1 - 2x)}^2}} \right] = 48{(1 - 2x)^2}\\ \Rightarrow y''(2) = 432 \end{array}\)