1. Thuật toán: Để giải bất phương trình f(x) > g(x); f(x) < g(x); f(x) ≤ g(x); f(x) ≥ g(x); ta khảo sát hoặc căn cứ vào tính chất của các hàm số y = f(x) và y = g(x), đưa ra bảng biến thiên và từ bảng biến thiên đưa ra kết luận. 2. Lưu ý: Nếu m là tham số thì y = h(m) là đường thẳng song song hoặc trùng với trục hoành. 3. Ví dụ: Bài 1: Tìm a để BẤT PHƯƠNG TRÌNH sau có nghiệm: ${x^3} + 3{x^2} - 1 \le a\left( {\sqrt x - \sqrt {x - 1} } \right)$ (1) Giải Điều kiện: x ≥ 1 Khi đó: (1) $\Leftrightarrow \left( {\sqrt x + \sqrt {x - 1} } \right)\left( {{x^3} + 3{x^2} - 1} \right) \le a$ (1’). Đặt $f(x) = \left( {{x^3} + 3{x^2} - 1} \right)\left( {\sqrt x + \sqrt {x - 1} } \right)$. Ta có: $f'(x) = \left( {3{x^2} + 6x} \right)\left( {\sqrt x + \sqrt {x - 1} } \right) + \left( {{x^3} + 3{x^2} - 1} \right)\left( {\frac{1}{{2\sqrt x }} + \frac{1}{{2\sqrt {x - 1} }}} \right) > 0\forall x > 1$. Do đó f(x) là hàm đồng biến trên [1; + ∞) Bảng biến thiên: Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy bất phương trình (1) có nghiệm khi a ≥ 3. Bài 2: Tìm m để BẤT PHƯƠNG TRÌNH $2{x^2} - 2mx + 1 \ge 3\sqrt {2{x^3} + x} $ (1) nghiệm đúng với mọi x > 0. GiảiTa có (1) $\Leftrightarrow 2mx \le 2{x^2} + 1 - 3\sqrt {2{x^3} + x} \Leftrightarrow 2m \le 2x + \frac{1}{x} - 3\sqrt {2x + \frac{1}{x}} (x > 0)$ (1’) Đặt t = 2x + 1/x. Do x > 0 nên theo BĐT Côsi ta có $t \ge 2\sqrt {2x.\frac{1}{x}} = 2\sqrt 2 $ . (Có thể sử dụng bảng biến thiên để tìm điều kiện của t) Khi đó (1’) trở thành: $m \le \frac{1}{2}\left( {t - 3\sqrt t } \right)(t \ge 2\sqrt 2 )$ (2). (1) nghiệm đúng với mọi khi và chỉ khi (2) nghiệm đúng với mọi $t \ge 2\sqrt 2 $. Xét hàm số $g(t) = \frac{t}{2} - \frac{{3\sqrt t }}{2}$ có $g'(t) = \frac{1}{2} - \frac{3}{{4\sqrt t }} = \frac{{2\sqrt t - 3}}{{4\sqrt t }}$. $g'(t) = 0 \Leftrightarrow 2\sqrt t - 3 = 0 \Leftrightarrow t = \frac{9}{4}$. Ta có bảng biến thiên: Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy (2) nghiệm đúng với mọi $t \ge 2\sqrt 2 $ khi m ≤ $\sqrt 2 - \frac{{3\sqrt {2\sqrt 2 } }}{2}$.
