Mạch RLC ghép nối tiếp có hệ số tự cảm L thay đổi (phần 2)

I. Cơ sở lí thuyết
Xét một đoạn mạch gồm điện trở thuần R, cuộn dây thuần cảm có hệ số tự cảm thay đổi được L, tụ điện có điện dung C tạo thành một mạch điện không phân nhánh (hình vẽ). Đặt vào hai đầu đoạn mạch AB một hiệu điện thế xoay chiều có dang $u = {U_0}\cos \left( {\omega t + \varphi } \right)$.

​

a) Điều chỉnh L thì thấy có có hai giá trị của L cho cùng một cường độ dòng điện hiệu dụng I. Tìm mối liên hệ giữa các giá trị L với điện dung C?
b) Điều chỉnh L thì thấy có có hai giá trị của L cho cùng một hiệu điện thế hiệu dụng U$_L$. Tìm mối liên hệ giữa các giá trị L với trường hợp điều chỉnh L để mạch xảy ra cộng hưởng?

Giải​

a) Mối liên hệ giữa các giá trị L với điện dung C:
$\begin{array}{l}
\left. \begin{array}{l}
{P_1} = {P_2} \to I_1^2R = I_2^2R\\
{U_{R1}} = {U_{R2}} \to {I_1}R = {I_2}R\\
{U_{C1}} = {U_{C2}} \to {I_1}{Z_C} = {I_2}{Z_C}
\end{array} \right\} \to {I_1} = {I_2} \to \frac{U}{{{Z_1}}} = \frac{U}{{{Z_2}}} \to {Z_1} = {Z_2}\\
\to \left\{ \begin{array}{l}
\sqrt {{R^2} + {{\left( {{Z_{L1}} - {Z_C}} \right)}^2}} = \sqrt {{R^2} + {{\left( {{Z_{L2}} - {Z_C}} \right)}^2}} \to {Z_{L1}} - {Z_C} = - \left( {{Z_{L2}} - {Z_C}} \right) \to {Z_C} = \frac{{{Z_{L2}} + {Z_{L1}}}}{2}\\
\frac{R}{{{Z_1}}} = \frac{R}{{{Z_2}}} \to c{\rm{os}}{\varphi _1} = c{\rm{os}}{\varphi _1} \to {\varphi _1} = - {\varphi _2} \to \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
{\varphi _1} = + \alpha > 0\\
{\varphi _2} = - \alpha < 0
\end{array} \right. \leftrightarrow {L_1} > {L_2}\\
\left\{ \begin{array}{l}
{\varphi _1} = - \alpha < 0\\
{\varphi _2} = + \alpha > 0
\end{array} \right. \leftrightarrow {L_1} < {L_2}
\end{array} \right.
\end{array} \right.
\end{array}$
Hệ quả:

• Dòng điện trong hai trường hợp lệch pha nhau là 2α.
  
• Ta có thể áp dụng với yêu cầu cùng một P, U$_R$, U$_C$

b) Mối liên hệ giữa các giá trị L với trường hợp điều chỉnh L để mạch xảy ra cộng hưởng:
* Khi mạch có hai giá trị của L1 và L2 để cho cùng giá trị của UL, mối liên hệ giữa chúng:
${U_L} = I{Z_L} = \frac{{U.{Z_L}}}{{\sqrt {{R^2} + {{\left( {{Z_L} - {Z_C}} \right)}^2}} }} = \frac{U}{{\sqrt {\left( {{R^2} + Z_C^2} \right)\frac{1}{{Z_L^2}} - 2{Z_C}.\frac{1}{{{Z_L}}} + 1} }}\left( * \right)$
Phương trình (*) có hai nghiệm khi: $\frac{1}{{{Z_{L\left( {{U_{L\max }}} \right)}}}} = \frac{1}{{{Z_L}}} = \frac{{\frac{1}{{{Z_{L1}}}} + \frac{1}{{{Z_{L2}}}}}}{2} \to \frac{1}{{{Z_{L1}}}} + \frac{1}{{{Z_{L2}}}} = \frac{{2{Z_C}}}{{{R^2} + Z_C^2}}$
Lưu ý: Ta thấy khi hiện tượng cộng hưởng xảy ra thì: Z$_{L0}$ = Z$_C$ → ${L_0} = \frac{{{L_1} + {L_2}}}{2}$

II. Ví dụ vận dụng

Câu 1.Đặt điện áp xoay chiều có giá trị hiệu dụng không đổi, tần số 50 Hz vào hai đầu đoạn mạch mắc nối tiếp gồm: điện trở thuần R, tụ điện có điện dung C và cuộn cảm thuần có thay đổi được. Điều chỉnh độ tự cảm L đến giá trị 0,3 H hoặc 0,5 H thì điện áp hiệu dụng hai đầu điện trở R đều có giá trị bằng nhau. Giá trị của C bằng
A. 12,67 µF.
B. 7,958 mF.
C. 101,3 µF.
D. 25,33 µF.

Lời giải​

${Z_C} = \frac{{{Z_{L1}} + {Z_{L2}}}}{2} \to C = \frac{1}{{\omega {Z_C}}} = 25,33\mu F$
Chọn D.

Câu 2.Đặt điện áp xoay chiều u = U0cos(100πt) V ( U0 không đổi) vào hai đầu đoạn mạch mắc nối tiếp gồm điện trở thuần R, tụ điện có điện dung C = 100/π μF và cuộn dây thuần cảm có độ tự cảm L thay đổi. Nếu L = L$_1$ hoặc L = L$_2$ = 3L$_1$ thì cường độ dòng điện hiệu dụng qua mạch như nhau. Trị số L$_1$ là
A. 2/π H.
B. 1/π H.
C. 1/2π H.
D. 3/2π H.

Lời giải​

L thay đổi mà I$_1$ = I$_2$ thì: Z$_{L1}$ + Z$_{L2}$ = 2Z$_C$ = 200 Ω (1)
Mặt khác: L$_2$ = 3L$_1$ (2)
Từ (1) và (2) ta có: ${Z_{L1}} + 3{Z_{L1}} = 200 \to {Z_{L1}} = 50\Omega \to {L_1} = \frac{{{Z_{L1}}}}{\omega } = \frac{1}{{2\pi }}\left( H \right)$
Chọn C.

Câu 3.Đặt điện áp xoay chiều có giá trị hiệu dụng và tần số không đổi vào hai đầu mạch mắc nối tiếp gồm điện trở thuần R, tụ điện có điện dung C và cuộn cảm thuần có độ tự cảm L thay đổi được. Điều chỉnh L đến L$_1$ = 0,2/π (H) hoặc L$_2$ = 0,4/π (H) thì cường độ dòng điện trong mạch với mỗi trường hợp lệch pha với điện áp một góc có độ lớn không đổi. Điều chỉnh L = L$_0$ thì dòng điện và điện áp cùng pha. Giá trị của L$_0$ là
A. $\frac{1}{{10\pi }}\left( H \right).$
B. $\frac{{0,2}}{{\sqrt 2 \pi }}\left( H \right).$
C. $\frac{3}{{10\pi }}\left( H \right).$
D. $\frac{{0,6}}{{10\pi }}\left( H \right).$

Lời giải​

Khi L = L$_0$, mạch xảy ra cộng hưởng: ${L_0} = \frac{{{L_1} + {L_2}}}{2} = \frac{{0,3}}{\pi }\left( H \right)$
Chọn C.

Câu 4.Vạch điệnAB gồm R, L, C nối tiếp, uAB = U√2cosωt. Chỉ có L thay đổi được. Khi L thay đổi từ $L = {L_1} = \frac{1}{{{\omega ^2}C}}$ đến $L = {L_2} = \frac{{{\omega ^2}{C^2}{R^2} + 1}}{{{\omega ^2}C}}$ thì
A. cường độ dòng điện luôn tăng.
B. tổng trở của mạch luôn giảm.
C. hiệu điện thế hiệu dụng ở hai đầu cuộn cảm luôn tăng.
D. hiệu điện thế hiệu dụng giữa hai bản tụ luôn tăng.

Lời giải​

* $L = {L_1} = \frac{1}{{{\omega ^2}C}} \to {Z_{L1}} = {Z_C}$mạch đang xảy ra cộng hưởng điện.
* $L = {L_2} = \frac{{{\omega ^2}{C^2}{R^2} + 1}}{{{\omega ^2}C}} \to {Z_{L2}} = \frac{{{R^2} + Z_C^2}}{{{Z_C}}}$ mạch ứng với hiệu điện thế cuộn cảm cực đại.
-${Z_{L2}} = \frac{{{R^2} + Z_C^2}}{{{Z_C}}} = \frac{{{R^2}}}{{{Z_C}}} + {Z_C} > {Z_{L1}} \to Z \uparrow \to I \downarrow \to {U_C} = I{Z_C} \downarrow $: A; B và C sai.
Chọn C.

Câu 5.Một mạch điện xoay chiều nối tiếp được mắc theo thứ tự R – C – L. Thay đổi L người ta thấy khi L = L$_1$ = 2/π H hoặc L = L$_2$ = 4/π H thì hiệu điện thế trên hai đầu L là như nhau. Tìm L để hiệu điện thế trên hai đầu đoạn mạch gồm RC trễ pha hơn hiệu điện thế hai đầu đoạn mạch một góc π/2. Chọn đáp án đúng.
A. 3/π H.
B. 2/3π H.
C. 8/3π H.
D. 5/3π H.

Lời giải​

L thay đổi và tồn tại hai giá trị L1 và L2 cùng cho một giá trị UL → khi ULmax thì ${L_0} = \frac{{2{L_1}{L_2}}}{{{L_1} + {L_2}}} = \frac{8}{{2\pi }}\left( H \right)$
L thay đổi và có $\overrightarrow {{U_{RC}}} \bot \overrightarrow {{U_{AB}}} \leftrightarrow {U_{L\max }} \to L = {L_0} = \frac{8}{{3\pi }}\left( H \right)$
Chọn C.

Câu 6.Đặt điện áp xoay chiều vào hai đầu đoạn mạch mắc nối tiếp gồm điện trở thuần R, tụ điện có dung kháng 15 Ω và cuộn cảm thuần có độ tự cảm L thay đổi. Điều chỉnh L để cảm kháng lần lượt là Z$_L$ = Z$_{L1}$ và Z$_L$ = Z$_{L2}$ thì cường độ dòng điện hiệu dụng qua mạch như nhau. Điện áp hiệu dụng ở hai đầu cuộn cảm khi Z$_L$ = Z$_{L1}$ gấp hai lần khi Z$_L$ = Z$_{L2}$. Giá trị Z$_{L1}$ bằng
A. 50 Ω.
B. 150 Ω.
C. 20 Ω.
D. 10 Ω.

Lời giải​

Điều chỉnh L để cảm kháng lần lượt là Z$_L$ = Z$_{L1}$ và Z$_L$ = Z$_{L2}$ thì I$_1$ = I$_2$ nên
Z$_{L1}$ + Z$_{L2}$ = 2Z$_{C}$ = 300 Ω (1)
Mặt khác: ${U_{L1}} = 2{U_{L2}} \to \frac{{U.{Z_{L1}}}}{{\sqrt {{R^2} + {{\left( {{Z_{L1}} - {Z_C}} \right)}^2}} }} = 2\frac{{U.{Z_{L2}}}}{{\sqrt {{R^2} + {{\left( {{Z_{L2}} - {Z_C}} \right)}^2}} }} \to {Z_{L1}} = 2{Z_{L2}}\left( 2 \right)$
Từ (1) và (2): Z$_{L1}$ = 20 Ω và Z$_{L2}$= 10 Ω
Chọn C.

Câu 7.Đặt điện áp xoay chiều u = U0cos(ωt) (với U0, ω không đổi) vào hai đầu đoạn mạch RLC, trong đó cuộn dây thuần cảm có độ tự cảm L thay đổi. Khi L = L1 hay L = L2 với L2 < L1 thì công suất tiêu thụ của mạch điện tương ứng P1, P2 với P1 = 3P2 độ lệch pha giữa điện áp hai đầu mạch điện với cường độ dòng điện trong mạch tương ứng φ1, φ2 với |φ1| + |φ2| = π/2. Độ lớn của φ1 và φ2 là
A. π/3; π/6.
B. π/6; π/3.
C. 5π/6; π/12.
D. π/12; 5π/12.

Lời giải​

$\left. \begin{array}{l}
\left. \begin{array}{l}
{P_1} = 3{P_2} \to \frac{{{I_1}}}{{{I_2}}} = \sqrt 3 \\
\cos \varphi = \frac{P}{{UI}}
\end{array} \right\}\frac{{{I_1}}}{{{I_2}}} = \sqrt 3 = 3\frac{{\cos {\varphi _2}}}{{\cos {\varphi _1}}}\left( 1 \right)\\
\left| {{\varphi _1}} \right| + \left| {{\varphi _2}} \right| = \frac{\pi }{2}\left( 2 \right)
\end{array} \right\}\tan {\varphi _1} = \frac{1}{{\sqrt 3 }} \to {\varphi _1} = \frac{\pi }{6}\left( {rad} \right) \to \left| {{\varphi _1}} \right| = \frac{\pi }{3}\left( {rad} \right)$
Chọn B.

Câu 8.Đặt điện áp xoay chiều u = 100√2.cos(100πt) V vào hai đầu đoạn mạch mắc nối tiếp gồm điện trở thuần R = 50 Ω, tụ điện C và cuộn cảm thuần có cảm kháng Z$_L$ thay đổi. Điều chỉnh Z$_L$ lần lượt bằng 15 Ω, 30 Ω và 45 Ω thì cường độ dòng điện qua mạch lần lượt bằng I1, I2 và I3. Nếu I1 = I2 = I thì
A. I$_3$ = 3I.
B. I$_3$ < I.
C. I$_3$ = 2I.
D. I$_3$= I.

Lời giải​

${Z_{L0}} = {Z_C} = \frac{{{Z_{L2}} + {Z_{L1}}}}{2} = 22,5\Omega {I_3} < I$
Chọn B.

Câu 9.Đặt điện áp xoay chiều u$_{AB}$ = 100√2cos(100πt) V vào mạch RLC nối tiếp theo thứ tự là điện trở R, cuộn đây thuần cảm có L thay đổi được và C. Khi L = L1 = 1/π H hay L = 3L1 thì mạch có cùng công suất nhưng dòng điện i1 và i2 lệch pha nhau 2π/3. Biểu thức của hiệu điện thế uMB ( M là điểm nằm giữa cuộn dây và tụ điện) khi L = L1 là
A. u$_{MB}$ = 50√2cos(100πt + π/3) V.
B. u$_{MB}$= 100√2cos(100πt - 2π/3) V.
C. u$_{MB}$ = 100√2cos(100πt + 2π/3) V.
D. u$_{MB}$ = 50√2cos(100πt + π/2) V.

Lời giải​

$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
{Z_C} = \frac{{{Z_{L1}} + {Z_{L2}}}}{2} = 2{Z_{L1}}\\
{\varphi _{{i_1}/{i_2}}} = 2\alpha = \frac{{2\pi }}{3}
\end{array} \right. \to \left\{ \begin{array}{l}
{\varphi _1} = \frac{{ - \pi }}{3} \to \tan {\varphi _1} = - \sqrt 3 \to R = \frac{{{Z_{L1}}}}{{\sqrt 3 }} = \frac{{100}}{{\sqrt 3 }}\left( \Omega \right)\\
{\varphi _1} = \frac{\pi }{3}
\end{array} \right.\\
{u_{MB}} = i{Z_{MB}} = \frac{{100\sqrt 2 }}{{\frac{{100}}{{\sqrt 3 }} + \left( {100 - 200} \right)i}}.\left( { - 200i} \right) = 244,95\angle - \frac{\pi }{6}
\end{array}$
Chọn C.

Câu 10.ĐH – 2013
Đặt điện áp u = U0cosωt (U$_0$ và ω không đổi) vào hai đầu đoạn mạch mắc nối tiếp gồm điện trở R, tụ điện có điện dung C, cuộn cảm thuần có độ tự cảm L thay đổi được. Khi L = L$_1$ và L = L$_2$; điện áp hiệu dụng ở hai đầu cuộn cảm có cùng giá trị; độ lệch pha của điện áp ở hai đầu đoạn mạch so với cường độ dòng điện lần lượt là 0,52 rad và 1,05 rad. Khi L = L$_0$; điện áp hiệu dụng giữa hai đầu cuộn cảm đạt cực đại; độ lệch pha của điện áp ở hai đầu đoạn mạch so với cường độ dòng điện là φ. Giá trị của φ gần giá trị nào nhất sau đây?
A. 1,57 rad.
B. 0,83 rad.
C. 0,26 rad.
D. 0,41 rad.

Lời giải​

$\tan \left( \varphi \right) = \frac{{{Z_L} - Zc}}{R} \to {Z_L} = R\tan \left( \varphi \right) + {Z_C} \to \left[ \begin{array}{l}
{Z_{L1}} = R\tan \left( {{\varphi _1}} \right) + {Z_C}\\
{Z_{L2}} = R\tan \left( {{\varphi _2}} \right) + {Z_C}\\
{Z_{L0}} = R\tan \left( \varphi \right) + {Z_C}
\end{array} \right.\,\,\left( 1 \right)$
$\frac{1}{{{Z_{L0}}}} = \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{{{Z_{L1}}}} + \frac{1}{{{Z_{L2}}}}} \right)\left( 2 \right)$
Từ (1) và (2): $\frac{1}{{R\tan \left( \varphi \right) + {Z_C}}} = \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{{R\tan \left( {{\varphi _1}} \right) + {Z_C}}} + \frac{1}{{R\tan \left( {{\varphi _2}} \right) + {Z_C}}}} \right)\left( 3 \right)$
mà: $\tan \left( \varphi \right) = \frac{{{Z_{L0}} - Zc}}{R} = \frac{{\frac{{Z_C^2 + {R^2}}}{{{Z_C}}} - {Z_C}}}{R} = \frac{R}{{{Z_C}}}\left( 4 \right)$
Từ (3) và (4):
$\begin{array}{l}
\frac{1}{{{{\tan }^2}\left( \varphi \right) + 1}} = \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{{\tan \left( \varphi \right)\tan \left( {{\varphi _1}} \right) + 1}} + \frac{1}{{\tan \left( \varphi \right)\tan \left( {{\varphi _2}} \right) + 1}}} \right)\\
\to \tan \varphi = 0,999 \to \varphi = 0,785\left( {rad} \right)
\end{array}$
Chọn B.