Bài 1: Định nghĩa và các phép toán số phức

Ta có: \(z = \frac{{1 - i}}{{1 + i}} = \frac{{{{(1 - i)}^2}}}{{1 + i}} = - i\)
Suy ra \({z^{2017}} = {( - i)^{2017}} = {( - i)^{504.4 + 1}} = - i.\)

 

Gọi \(z = a = bi\left( {a,b \in } \right) \Rightarrow \bar z = a - bi\)
\({\left( {1 + 2i} \right)^2}z + \bar z = 4i - 20 \Leftrightarrow \left( {1 + 4i + 4{i^2}} \right)\left( {a + bi} \right) + \left( {a - bi} \right) = 4i - 20\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( { - 3 + 4i} \right)\left( {a + bi} \right) + \left( {a - bi} \right) = 4i - 20\\ \Leftrightarrow - 3a - 3bi + 4ai + 4b{i^2} + a - bi = - 20 + 4i \end{array}\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2a - 4b = - 20\\ 4a - 4b = 4 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = 4\\ b = 3 \end{array} \right.\)
Ta có: \(\left| z \right| = \sqrt {{4^2} + {3^2}} = 5.\)

 

Ta có điểm M biểu diễn
\(z = - 2 + 2i \Rightarrow w = {\left( { - 2 + 2i} \right)^2} + i\left( { - 2 + 2i} \right) = - 8i - 2i - 2 = - 2 - 10i\)

 

Đặt \(z = a + bi\,\left( {a,b \in } \right) \Rightarrow \bar z = a - bi\) ta có:
\(\left( {1 + 2i} \right)z + 2\bar z = 14 + 5i \Leftrightarrow \left( {1 + 2i} \right)\left( {a + bi} \right) + 2\left( {a - bi} \right) = 14 + 5i\)
\(\Leftrightarrow a + bi + 2ai - 2b + 2a - 2bi = 14 + 5i \Leftrightarrow 3a - 2b - 14 + \left( {2a - b - 5} \right)i = 0\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} 3a - 2b = 14\\ 2a - b = 5 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = - 14\\ b = - 13 \end{array} \right.\)
Khi đó \(P = {a^3} + b = 16 - 13 = 3\)

 

\(\overline z = 1 + 3i \Rightarrow w = \left( {1 + 3i} \right) + {\left( {1 - 3i} \right)^2} = - 7 - 3i\)
\(\Rightarrow \left| w \right| = \sqrt {{{\left( { - 7} \right)}^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} = \sqrt {58} .\)

 

Ta có: \({z^{ - 1}} = \frac{1}{{a + bi}} = \frac{{a - bi}}{{\left( {a + bi} \right) \left( {a - bi} \right)}} = \frac{{a - bi}}{{{a^2} + {b^2}}}\)
Do đó phần ảo của số phức: \(z^{-1}\) là \(\frac{{ - b}}{{{a^2} + {b^2}}}.\)

 

Ta có:
\(z = x + yi \Rightarrow \bar z = x - yi \Rightarrow w = \frac{{\bar z + i}}{{iz - 1}} = \frac{{x + \left( {1 - y} \right)i}}{{i\left( {x + yi} \right) - 1}}\)
\(\Rightarrow w = \frac{{x + \left( {1 - y} \right)i}}{{ - y - 1 + xi}} = \frac{{\left[ {x + \left( {1 - y} \right)i} \right]\left( {y + 1 + xi} \right)}}{{{{\left( {xi} \right)}^2} - {{\left( {y + 1} \right)}^2}}}\)
\(= \frac{{x\left( {y + 1} \right) - x\left( {1 - y} \right) + \left( {{x^2} - {y^2} + 1} \right)i}}{{ - {x^2} - {{\left( {y + 1} \right)}^2}}} = - \frac{{2xy}}{{{x^2} + {{\left( {y + 1} \right)}^2}}} + \frac{{{y^2} - {x^2} - 1}}{{{x^2} + {{\left( {y + 1} \right)}^2}}}i\)

 

Ta có: \(z = 1 + \sqrt 3 i\) suy ra: \(\frac{1}{z} = \frac{1}{4} - \frac{{\sqrt 3 }}{4}i\)

 

Ta có: \({\left( {1 + i} \right)^{10}} = {\left[ {{{(1 + i)}^2}} \right]^5} = {\left( {2i} \right)^5} = 32i.\)

 

Ta có: \(z = a + bi \Rightarrow {z^{ - 1}} = {(a + bi)^{ - 1}} = \frac{1}{{a + bi}} = \frac{a}{{{a^2} + {b^2}}} - \frac{b}{{{a^2} + {b^2}}}i.\)

 

Gọi \(z = x + yi\,\,(x,y \in \mathbb{R})\)
Ta có:
\(\begin{array}{l} z + 2(z + \overline z ) = 2 - 6i \Leftrightarrow x + yi + 2(x + yi + x - yi) = 2 - 6i\\ \Leftrightarrow 5x + yi = 2 - 6i \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 5x = 2\\ y = - 6 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = \frac{2}{5}\\ y = - 6 \end{array} \right.. \end{array}\)

 

Ta có: \(z = \frac{{1 + i}}{{1 - i}} + \frac{{1 - i}}{{1 + i}} = 0.\)

 

\(\begin{array}{l} (1 + i)(z - i) + 2z = 2i \Leftrightarrow \left( {1 + i} \right)z - i + 1 + 2z = 2i\\ \Leftrightarrow \left( {3 + i} \right)z = - 1 + 3i \Leftrightarrow z = \frac{{ - 1 + 3i}}{{3 + i}} = i. \end{array}\)
Vậy: \({\rm{w}} = \frac{{\overline z - 2z + 1}}{{{z^2}}} = \frac{{ - i - 2i + 1}}{{{i^2}}} = \frac{{ - 3i + 1}}{{ - 1}} = - 1 + 3i.\)
Nên: \(\left| {\rm{w}} \right| = \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {3^2}} = \sqrt {10} .\)

 

\(\left\{ \begin{array}{l} {z_1} = 1 - 2i\\ {z_2} = 1 - 3i \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {{\bar z}_1} = 1 + 2i\\ {{\bar z}_2} = 1 + 3i \end{array} \right. \Rightarrow {\bar z_1} + {\bar z_2} = 2 + 5i \Rightarrow \left| {{{\bar z}_1} + {{\bar z}_2}} \right| = \sqrt {29} .\)

 

Ta có: \(z = a + bi(a,b \in ) \Rightarrow \overline z = a - bi\) và \(z.\overline z = |z{|^2} = {a^2} + {b^2}\)
Khi đó: \(z.\overline z + 3.(z - \overline z ) = 4 - 3i \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + 6bi = 4 - 3i \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {a^2} + {b^2} = 4\\ 6b = - 3 \end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = 0\\ b = - 2 \end{array} \right. \Rightarrow |z| = 2.\)

 

Đặt \(z = a + bi(a,b \in ) \Rightarrow \overline z = a - bi.\)
Ta có \((1 + i)(2z - 1) + (\overline z + 1)(1 - i) = 2(1 + i)z + (1 - i)\overline z - 2i\)
Suy ra \(2(1 + i)z + (1 - i)\overline z = 2 \Leftrightarrow 2(1 + i)(a + bi) + (1 - i)(a - bi) = 2\)
\(\Leftrightarrow 2a - 2b + a - b + (a + b)i = 2 \Leftrightarrow 3a - 3b - 2 + (a + b)i = 0\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 3a - 3b - 2 = 0\\ a + b = 0 \end{array} \right. \Rightarrow P = 0.\)

 

Ta có \({z_2} = 4 - 2i \Rightarrow {z_2} - 2{z_1} = 2 - 8i \Rightarrow \left| {{z_2} - 2{z_1}} \right| = \sqrt {{2^2} + {{( - 8)}^2}} = 2\sqrt {17}\)

 

Ta có \({z_2} - i{z_1} = 2 + 3i - 1 + {i^2} = 1 + 2i \Rightarrow \left| {{z_2} - i{z_1}} \right| = \sqrt {{1^2} + {2^2}} = \sqrt 5 .\)

 

\(z = \left( {1 + 2i} \right)\left( { - 2 + i} \right) \Leftrightarrow z = - 4 - 3i\) suy ra: \(\bar z = - 4 + 3i\).
Vậy phần thực và phần ảo của số phức \(\bar z\) lần lượt là -4; 3.

 

\(\begin{array}{l} z = a + bi\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right) \Rightarrow \bar z = a - bi \Rightarrow \frac{z}{{1 - 2i}} + \bar z = 2\\ \Rightarrow \frac{{a + bi}}{{1 - 2i}} + za - bi = 2\\ \Leftrightarrow a + bi + \left( {a - bi} \right)\left( {1 - 2i} \right) = 2\left( {1 - 2i} \right)\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} a + a - 2b = 2\\ b - 2a - b = - 4 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = 2\\ b = 1 \end{array} \right. \Rightarrow z = 2 + i \end{array}\)
Suy ra: \({\rm{w}} = {z^2} - z = {\left( {2 + i} \right)^2} - \left( {2 + i} \right) = 1 - 5i.\)
Vậy phần thực của số w là 1.