Nâng cao Những bài về đường thẳng trong hình giải tích phẳng bạn nên biết

VTPT của (P) là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1;1; - 1} \right)\), VTPT của (Q) là \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {1;3;0} \right)\). Gọi \({d'} = \left( P \right) \cap \left( Q \right).\)
Gọi d’ là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q)
Khi đó VTCP của d’ là \(\overrightarrow u = \left[ {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right] = \left( {3; - 1;2} \right)\) cũng là VTCP của d nên d song song d’.
Ta có: \(A\left( {1; - 2; - 1} \right) \in d,\,\,B\left( {0;4;2} \right) \in {\rm{d'}} \Rightarrow \overrightarrow {AB} = \left( { - 1;6;3} \right)\)
VTPT của (R) là \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow u } \right] = \left( {15;11; - 17} \right).\)
Phương trình mặt phẳng (R) là: \(15\left( {x - 0} \right) + 11\left( {y - 4} \right) - 17\left( {z - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow 15{\rm{x}} + 11y - 17{\rm{z}} - 10 = 0.\)

 

Mặt phẳng (P) có một VTPT là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {\frac{1}{3};\frac{1}{2};1} \right) = \frac{1}{6}\left( {2;3;6} \right) = \frac{1}{6}\overrightarrow n \Rightarrow \overrightarrow n \) cũng là 1 VTPT của (P).

 

Các VTCP của \({d_1}\) và \({d_2}\) lần lượt là: \(\overrightarrow {{u_1}} \left( {1; - 1;2} \right),\overrightarrow {{u_2}} \left( { - 1;0;1} \right)\). Ta có \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( { - 1; - 3; - 1} \right) \ne \overrightarrow 0 \) \( \Rightarrow {d_1},{d_2}\) cắt nhau hoặc chéo nhau.
Giải hệ phương trình của \({d_1}\) và \({d_2}\) \( \Rightarrow \) vô nghiệm \( \Rightarrow {d_1}\) và \({d_2}\) chéo nhau.

 

Khi đó (P) nhận \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {u{_2}} } \right] = \left( { - 1; - 3; - 1} \right)\) làm VTPT \( \Rightarrow \left( P \right):x + 3y + z + m = 0\)
\(A\left( {2;1;0} \right) \in {d_1};B\left( {2;3;0} \right) \in {d_2} \Rightarrow d\left( {A;\left( P \right)} \right) = d\left( {B;\left( P \right)} \right) \Leftrightarrow \frac{{\left| {2 + 3.1 + 0 + m} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {3^2} + {1^2}} }} = \frac{{\left| {2 + 3.3 + 0 + m} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {3^2} + {1^2}} }}\)
\( \Leftrightarrow m = - 8 \Rightarrow \left( P \right):x + 3y + z - 8 = 0\)

 

Gọi \(A\left( {a;0;0} \right),B\left( {0;b;0} \right),C\left( {0;0;c} \right)\)
Do đó phương trình mp (P) là: \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1\)
Vì \(M\left( {1;2;3} \right) \in \left( P \right)\) nên \(\frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{3}{c} = 1\)
Vì tứ diện OABC có OA; OB; OC đôi một vuông góc và gọi H là trực tâm\(\Delta ABC\): \(\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}} + \frac{1}{{O{C^2}}}\)
Do đó \(\frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}} + \frac{1}{{O{C^2}}}\) nhỏ nhất \( \Leftrightarrow \frac{1}{{O{H^2}}}\) nhỏ nhất hay \(O{H^2}\) lớn nhất.
\(OH = d\left( {O;\left( {ABC} \right)} \right) = d\left( {O;\left( P \right)} \right) \Leftrightarrow OH = \frac{{\left| { - 1} \right|}}{{\sqrt {\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}}} }} \Rightarrow O{H^2} = \frac{1}{{\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}}}}\)

 

Theo Bunhiacopski ta có: \(1 = {\left( {1.\frac{1}{a} + 2.\frac{1}{b} + 3.\frac{1}{c}} \right)^2} \le \left( {{1^2} + {2^2} + {3^2}} \right)\left( {\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}}} \right)\)
\( \Leftrightarrow \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}} \ge \frac{1}{{14}}\).
Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \frac{1}{{\frac{1}{a}}} = \frac{2}{{\frac{1}{b}}} = \frac{3}{{\frac{1}{c}}} \Leftrightarrow a = 2b = 3c \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 14}\\{b = 7}\\{c = \frac{{14}}{3}}\end{array}} \right.\)
Phương trình mặt phẳng (P) là: \(\frac{x}{{14}} + \frac{y}{7} + \frac{z}{{\frac{{14}}{3}}} = 1 \Leftrightarrow x + 2y + 3z - 14 = 0\)

 

Tập hợp các điểm thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng có tọa độ là nghiệm của hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}
x + y = 0\\
x - y + z + 4 = 0
\end{array} \right.\)
Lấy điểm \(B\left( {0;0; - 4} \right),\,\,C\left( {1; - 1; - 6} \right)\) thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng trên.
Khi đó:
\(\overrightarrow {AB} \left( { - 2; - 3; - 5} \right);\,\,\overrightarrow {AC} \left( { - 1; - 4; - 7} \right) \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {1; - 9;5} \right)\)
Mặt phẳng đi qua A và giao tuyết của hai mặt phẳng nhận \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {1; - 9;5} \right)\) làm một VTPT nên có phương trình là: \(x - 9y + 5{\rm{z}} - 20 = 0.\)

 

Ta có: \(M(2;0;0),N(0; - 1;0),P(0;0;1).\)
\( \Rightarrow (MNP):\frac{x}{2} - \frac{y}{1} + \frac{z}{1} = 1 \Leftrightarrow x - 2y + 2z - 2 = 0.\)
Mặt phẳng đi qua A và song song với mặt phẳng (MNP) có phương trình là:\(x - 2y + 2z - 6 = 0.\)

 

Ta có: \(A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c)\) và \({V_{OABC}} = \frac{1}{6}abc\).
Vì \(H \in (P)\) nên \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{2}{c} = 1\) (1)
Áp dụng BĐT Cô-si cho 3 số dương \(\frac{1}{a}\), \(\frac{1}{b}\) và \(\frac{2}{c}\), ta có:
\({\left( {\frac{{\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{2}{c}}}{3}} \right)^3} \ge \frac{1}{a} \cdot \frac{1}{b} \cdot \frac{2}{c}\) (2) (dấu “=” xảy ra khi \(\frac{1}{a} = \frac{1}{b} = \frac{2}{c}\))
Từ (1) và (2), suy ra \(abc \ge \frac{2}{{27}}\), hay \(V \ge \frac{4}{9}\); \(V = \frac{4}{9} \Leftrightarrow \frac{1}{a} = \frac{1}{b} = \frac{2}{c}\), suy ra \(a = b = 3,c = 6\)(do (1)).
Vậy: \(S = a + 2b + c = 15\)

 

\(\left( \alpha \right):x + y - z - 2 = 0\) có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {1;1; - 1} \right)\)
\(\left( \beta \right):x - y + z - 1 = 0\) có vecto pháp tiuến \(\overrightarrow a = \left( {1; - 1;1} \right)\)
Ta có: \(\left( {\overrightarrow n ,\overrightarrow a } \right) = \left( {0; - 2; - 2} \right).\)
Khi đó mặt phẳng cần tìm có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {n'} = - \frac{1}{2}.\left( {\overrightarrow n ,\overrightarrow a } \right) = \left( {0;1;1} \right)\)
Mặt khác mặt phẳng đi qua \(A\left( {1;1;1} \right)\) nên có phương trình \(1.\left( {y - 1} \right) + 1.\left( {z - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow y + z - 2 = 0.\)

 

Có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{AB \bot CH}\\{AB \bot CO}\end{array}} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {CHO} \right) \Rightarrow AB \bot OH\)
Tương tự: \(OH \bot AC \Rightarrow OH \bot \left( {ABC} \right)\)
Suy ra (P) nhận \(\overrightarrow {OH} = \left( {1;4;3} \right)\) làm vecto pháp tuyến
\( \Rightarrow \left( P \right):\left( {x - 1} \right) + 4\left( {y - 4} \right) + 3\left( {z - 3} \right) = 0\)
Hay \(\left( P \right):x + 4y + 3z - 26 = 0.\)

 

Ta có \(3\left( {x - 1} \right) - 2\left( {y - 2} \right) - \left( {z - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x - 2y - z + 4 = 0.\)

 

Xét đường thẳng (d) có \(\overrightarrow {{u_{(d)}}} = (2; - 2; - 1)\) và \((P):\overrightarrow {{n_{(P)}}} = (1;1; - 1) \Rightarrow \left( {\overrightarrow {{u_{(d)}}} ;\overrightarrow {{n_{(P)}}} } \right) = (3;1;4).\)
Vì \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{n_{(\alpha )}}} \bot \overrightarrow {{u_{(d)}}} \\\overrightarrow {{n_{(\alpha )}}} \bot \overrightarrow {{n_{(P)}}} \end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow {{n_{(\alpha )}}} = \left( {\overrightarrow {{u_{(d)}}} ;\overrightarrow {{n_{(P)}}} } \right) = (3;1;4)\)
Mặt khác \(\left( \alpha \right)\) đi qua M(1;0;-1) thuộc d, nên có phương trình là:
\(\left( \alpha \right):3(x - 1) + 1(y - 0) + 4(z + 1) = 0 \Leftrightarrow 3x + y + 4z + 1 = 0.\)

 

Gọi \(\overrightarrow u = (2;1;3)\) là VTCP của d.
\(\overrightarrow n = \left( {2;1; - 1} \right)\) là VTPT của (P).
Ta có: \(\left[ {\overrightarrow u ;\overrightarrow n } \right] = \left( { - 4;8;0} \right)\)
Mặt phẳng (Q) chứa d và vuông góc với mặt phẳng (P) nên nhận \(\overrightarrow {n'} = - \frac{1}{4}\left[ {\overrightarrow u ;\overrightarrow n } \right] = (1; - 2;0)\) làm VTPT.
(Q) chứa d nên đi qua điểm A(1;0;-1) thuộc d.
Vậy phương trình (Q) là: \(1(x - 1) - 2(y - 0) + 0(z + 1) = 0 \Leftrightarrow x - 2y - 1 = 0.\)

 

Mặt cầu S có tâm I(1;-3;4) và bán kính 6.
(Q): x+2y-2z+d=0 ( do (Q) song song với (P))
\({d_{1/(Q)}} = \frac{{|1.1 + 2( - 3) - 2.4 + d|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {2^2}} }} = 6 \Rightarrow 6.3 = | - 13 + d| \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} d = - 5\\ d = 31 \end{array} \right.\)
Vậy phương trình mặt phẳng (Q) cần tìm là:\(x + 2y - 2z + 31 = 0\) hoặc \(x + 2y - 2z--5 = 0\)

 

Ta có \(M(1;0;0),N(0,2,0),P(0,0, - 5)\) lần lượt là hình chiếu của A lên các trục tọa độ.
Khi đó: Phương trình mặt phẳng (MNP) là: \(\frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{{ - 5}} = 1.\)

 

Gọi \(\Delta\) là giao tuyến của 2 mặt phẳng (P) và (Q).
Khi đó góc giữa (P) và (Q) nhỏ nhất khi và chỉ khi \(\Delta \perp d.\)
Đường thẳng d qua M(-1;-1;3) và có \(\overrightarrow {{u_d}} (2;1;1)\)
Khi đó VTCP của là:
Suy ra \(\overrightarrow {{n_Q}} = \left[ {\overrightarrow {{u_d}} ;\overrightarrow {{u_\Delta }} } \right] = 9(0;1; - 1) \Rightarrow (Q):y - z + 4 = 0.\)