Bài tập trắc nghiệm hình chóp

Ta có: \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}{.1^2}.\sin {60^o} = \frac{{\sqrt 3 }}{4}.\)
Thể tích của khối chóp là \(V = \frac{1}{3}{S_{ABC}}.SA = \frac{1}{3}.\frac{{\sqrt 3 }}{4}.1 = \frac{{\sqrt 3 }}{{12}}.\)

 

Theo bài ra ta có, \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\), nên AC là hình chiếu vuông góc của SC lên mặt phẳng (ABCD). \( \Rightarrow \left[ {\widehat {SC,\left( {ABCD} \right)}} \right] = \left( {\widehat {SC,AC}} \right) = \widehat {SCA} = {60^0}\)
Xét \(\Delta ABC\) vuông tại B, có \(AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = \sqrt {{a^2} + 2{a^2}} = a\sqrt 3 \)
Xét \(\Delta SAC\) vuông tại A, có \(\left( {SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right) \Rightarrow SA \bot AC\)
Ta có: \(\tan \widehat {SCA} = \frac{{SA}}{{AC}} \Rightarrow SA = AC.\tan \widehat {SCA} = AC.\tan {60^0} = a\sqrt 3 .\sqrt 3 = 3a\)
Vậy thể tích hình chóp S.ABCD là:
\({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}.SA.{S_{ABCD}} = \frac{1}{3}.3a.a.a\sqrt 2 = {a^3}\sqrt 2 .\)

 

Ta có \(CA = CD = a\sqrt 2 ,AD = 2a\)
Nên tam giác ACD vuông cân tại C và , suy ra \({S_{\Delta ACD}} = {a^2}\)
Gọi H là trung điểm của AB vì tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, suy ra \(SH \bot \left( {ABCD} \right)\) và \(SH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
Vậy \({S_{S.ACD}} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}\).

 

Gọi độ dài của cạnh góc vuông là x. Ta có: \(2{{\rm{x}}^2} = {\left( {4{\rm{a}}} \right)^2} \Rightarrow x = 2\sqrt 2 a.\)
Diện tích tam giác ABC là: \(S = \frac{1}{2}{x^2} = \frac{1}{2}{\left( {2\sqrt 2 a} \right)^2} = 4{{\rm{a}}^2}.\)
Độ dài đường cao SH của hình chóp là: \(SH = \frac{{3V}}{S} = \frac{{3.8{{\rm{a}}^3}}}{{4{{\rm{a}}^2}}} = 6{\rm{a}}.\)

 

Ta có \(A{B^2} + B{C^2} = A{C^2} \Rightarrow 2A{B^2} = A{C^2} \Leftrightarrow 2A{B^2} = {\left( {3a\sqrt 2 } \right)^2} \Leftrightarrow AB = 3a\)
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}CB \bot AB\\CB \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow CB \bot (SAB) \Rightarrow SB \bot BC\)
Mặt khác: \(AB \bot BC\)
Suy ra góc giữa (SBC) và (ABC) là \(\widehat {SBA} = {45^0}.\)
Nên tam giác SAB vuông cân tại A.
\( \Rightarrow SA = AB = 3a\)
Thể tích của khối chóp S.ABC là: \(V = \frac{1}{3}SA.{S_{ABC}} = \frac{1}{3}.3a.\frac{1}{2}{\left( {3a} \right)^2} = \frac{{9{a^3}}}{2}\)

 

Vì (SAB); (SAC); (SBC) đôi một vuông góc nên \(SA \bot SB;SB \bot SC;SA \bot SC.\)
Theo đề bài diện tích các tam giác SAB, SBC, SCA lần lượt là 8 \(c{m^2}\), 9 \(c{m^2}\) và 25\(c{m^2}\)nên:
\(\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{2}.SA.SB = 8\\\frac{1}{2}.SB.SC = 9\\\frac{1}{2}.SC.SA = 25\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}SA = \frac{{20}}{3}\\SB = \frac{{12}}{5}\\SC = \frac{{15}}{2}\end{array} \right. \Rightarrow {V_{S.ABC}} = \frac{1}{6}SA.SB.SC = 20c{m^3}.\)

 

Gọi I là trung điểm của BC, K là hình chiếu vuông góc của I lên SA.
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AI\\BC \bot SO\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot (SAI) \Rightarrow BC \bot KI\)
Vậy \(KI = \frac{{3a}}{4}\) là khoảng cách giữa SA và BC.
\({S_{ABC}} = \frac{1}{2}{a^2}\sin {60^0} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4};AI = \sqrt {{a^2} - {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)
Đặt \(SO = h\). Ta có \(SA = \sqrt {S{O^2} + A{O^2}} = \sqrt {{h^2} + {{\left( {\frac{2}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}} = \sqrt {{h^2} + \frac{{{a^2}}}{3}} \)
Tam giác SAO đồng dạng với tam giác IAK nên:
\(\frac{{SO}}{{IK}} = \frac{{SA}}{{IA}} \Rightarrow SO.IA = IK.SA \Leftrightarrow h\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{3a}}{4}\sqrt {{h^2} + \frac{{{a^2}}}{3}} \Leftrightarrow h = a.\)
Thể tích khối chóp S.ABC là \(V = \frac{1}{3}.{S_{ABC}}.SO = \frac{1}{3}.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.a = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}\)

 

Ta có \(SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot CD\) (1)
Và tứ giác ABCD là hình vuông \(AD \bot CD\) (2)
Từ (1), (2) suy ra
\(CD \bot \left( {SAD} \right) \Rightarrow \widehat {\left( {SCD} \right);\left( {ABCD} \right)} = \widehat {\left( {SD;AD} \right)} = \widehat {SDA}\)
Tam giác SAD vuông tại A, có
\(\tan \widehat {SDA} = \frac{{SA}}{{AD}} \Rightarrow SA = a.\tan {60^0} = a\sqrt 3 \)
Thể tích khối chóp S.ABCD là \(V = \frac{1}{3}SA.{S_{ABCD}} = \frac{1}{3}.a\sqrt 3 .{a^2} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}\)

 

Vì góc hợp bởi các cạnh bên và mặt đáy đều bằng \({60^o}\)nên tam giác SAO là nửa tam giác đều và tam giác SBD đều.
Vậy \(SO = SA.\sin {60^o} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2};\,\,\,B{\rm{D}} = S{\rm{D}} = a \Rightarrow AB = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}.\)
Vậy thể tích khối chóp \(V = \frac{1}{3}{S_{ABC{\rm{D}}}}.SO = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}.\)