Một số phương pháp giải hệ phương trình không mẫu mực

Hệ phương trình là một dạng toán khá phổ biến trong các đề thi tuyển sinh ĐH, CĐ và đề thi HSG các cấp. Đối với nhiều học sinh, bài toán giải hệ phương trình được coi là bài toán khó, thậm chí là câu khó nhất trong cấu trúc đề thi ĐH, CĐ.

Qua quá trình giảng dạy học sinh ôn thi ĐH, CĐ và bồi dưỡng học sinh giỏi phải trực tiếp hướng dẫn học sinh giải các hệ phương trình này, tôi thấy cần phải rèn cho học sinh thành thạo các kĩ năng giải hệ phương trình thông thường và chú ý tới một số kĩ năng thường áp dụng khi giải “hệ không mẫu mực”. Trong bài viết này tôi xin gọi như vậy đối với các hệ phương trình mà thuật giải không được trình bày trong sách giáo khoa.

Bài viết được chia làm ba mục: Mở đầu là tóm tắt các hệ phương trình thường gặp, đã được giới thiệu khá chi tiết trong sách giác khoa. Mục thứ hai là một số kĩ năng giải hệ phương trình không mẫu mực. Các bài toán đưa ra phần lớn là tôi sưu tầm từ nhiều nguồn tài liệu khác nhau, một số ít do tôi ra trong các kì thi KS, thi HSG,…Lời giải các bài toán này tôi chỉ chú ý đến cách đưa hệ không mẫu mực về dạng quen thuộc mà không quan tâm đến kết quả cuối cùng. Cuối cùng là hệ thống các bài tập để bạn đọc tham khảo.

Chuyên đề dùng giảng dạy ôn thi ĐH, CĐ và ôn thi HSG cho học sinh khối 12. Thời gian giảng dạy chuyên đề này cho học sinh khối 12 khi ôn thi ĐH, CĐ là 2 buổi.

Mặc dù rất tâm huyết với chuyên đề, nhưng do thời gian và khả năng có hạn nên bài viết khó tránh khỏi những thiếu sót. Tối rất mong nhận được sự góp ý của quí thầy cô, bạn bè đồng nghiệp và các em học sinh để chuyên đề được hoàn thiện hơn và trở thành tài liệu có ích trong giảng dạy và học tập.

Tác giả: Nguyễn Thành Đông​

I. MỘT SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH THƯỜNG GẶP

Một số hệ phương trình được học trong chương trình phổ thông có phương pháp giải rõ ràng, học sinh chỉ cần nhớ thuật giải, rèn luyện các kĩ năng biến đổi, tính toán là có thể làm được. Thực chất các hệ phương trình này ta gặp rất nhiều ở cả THCS và THPT, không riêng bộ môn toán mà cả môn lí, môn hóa,… Một lần nữa ta nhắc lại các dạng hệ phương trình như vậy.

1. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

a) Định nghĩa: Là hệ phương trình có dạng
$\left\{ \begin{array}{l}ax + by = c\\a'x + b'y = c'\end{array} \right.$, trong đó x, y là ẩn.

b) Cách giải: Với hệ này ta có thể giải bằng nhiều cách khác nhau như: Phương pháp thế, phương pháp cộng, sử dụng đồ thị, sử dụng máy tính cầm tay, tính định thức, đặt ẩn phụ,…

2. Hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn

a) Định nghĩa: Là hệ phương trình có dạng
$\left\{ \begin{array}{l}{a_1}x + {b_1}y + {c_1}z = {d_1}\\{a_2}x + {b_2}y + {c_2}z = {d_2}\\{a_3}x + {b_3}y + {c_3}z = {d_3}\end{array} \right.$, trong đó x, y, z là ẩn.

b) Cách giải: Với hệ này ta có thể giải bằng nhiều cách khác nhau như: Phương pháp thế, phương pháp cộng, sử dụng máy tính cầm tay, tính định thức, phương pháp khử Gauss,…

3. Hệ gồm một phương trình bậc nhất và một phương trình khác

a) Định nghĩa: Là hệ phương trình có dạng
$\left\{ \begin{array}{l}ax + by + c = 0\\f(x,y) = 0\end{array} \right.$, trong đó x, y là ẩn còn f(x,y) là biểu thức hai biến x, y.

b) Cách giải: Sử dụng phương pháp thế.

4. Hệ đối xứng loại 1

a) Định nghĩa: Là hệ mà khi ta đổi vai trò của hai ẩn cho nhau trong mỗi phương trình, từng phương trình đó không thay đổi.

b) Cách giải: Biến đổi tương đương làm xuất hiện tổng và tích của các nghiệm rồi đặt tổng bằng S, tích bằng P (${S^2} \ge P$). Thông thường sau bước này ta được một hệ đơn giản.

5. Hệ đối xứng loại 2

a) Định nghĩa: Là hệ mà khi ta đổi vai trò của hai ẩn cho nhau trong mỗi phương trình, phương trình này biến thành phương trình kia.

b) Cách giải: Trừ vế cho vế làm xuất hiện nhân tử chung x-y rồi đưa hệ đã cho về hai hệ mới đơn giản hơn.

6. Hệ đẳng cấp

a) Định nghĩa: Là hệ có dạng $\left\{ \begin{array}{l}{f_1}(x;y) = {f_2}(x;y)\\{g_1}(x;y) = {g_2}(x;y)\end{array} \right.$, ở đó ${f_i}(x;y)\& {g_i}(x;y)$ là các đa thức đẳng cấp hai biến và cùng bậc.

b) Cách giải: Xét riêng x=0. Nếu x khác 0 thì ta đặt y=kx rồi nhận xét và chia về cho vế ta được phương trình một ẩn k. Tìm được k ta tìm được x và y.

II. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC

1. Phương pháp biến đổi tương đương

Một số kĩ năng thường áp dụng như phân tích thành tích, bình phương hoặc lập phương hai vế, thêm bớt làm xuất hiện nhân tử chung,…
Bài 1. Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + xy + 2y = 2{y^2} + 2x{\rm{ (1)}}\\y\sqrt {x - y + 1} + x = 2.{\rm{ (2)}}\end{array} \right.$

Giải​

ĐK: x – y + 1 ≥ 0. Ta biến đổi phương trình (1) làm xuất hiện nhân tử chung $(1) \Leftrightarrow {x^2} - {y^2} + xy - {y^2} + 2y - 2x = 0 \Leftrightarrow (x - y)(x + 2y - 2) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = y{\rm{ (3)}}\\x = 2 - 2y{\rm{ (4)}}\end{array} \right.$
Từ (3) & (2) ta có x = y = 1. Từ (4) & (2) ta có
$\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - 2y\\y\sqrt {3 - 3y} = 2y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}y = 0;x = 2\\y = - \frac{1}{3};x = \frac{8}{3}.\end{array} \right.$
Kết luận : Hệ có 3 nghiệm.

Bài 2. (Báo TH&TT) Giải hệ phương trình:
$\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} + \frac{{2xy}}{{x + y}} = 1{\rm{ (1)}}\\\sqrt {x + y} = {x^2} - y{\rm{ (2)}}\end{array} \right.$

Giải​

ĐK: x + y > 0
$\begin{array}{l}(1) \Leftrightarrow {x^2} + 2xy + {y^2} + \frac{{2xy}}{{x + y}} - 2xy = 1 \Leftrightarrow {(x + y)^2} - 1 - 2xy.\frac{{x + y - 1}}{{x + y}} = 0\\ \Leftrightarrow (x + y - 1)\left( {x + y + 1 - \frac{{2xy}}{{x + y}}} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1 - y{\rm{ (3)}}\\\frac{{{x^2} + {y^2} + x + y}}{{x + y}} = 0{\rm{ (4)}}\end{array} \right.\end{array}$
-Từ (3) và (2) ta có ${y^2} - 3y = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}y = 0;x = 1\\y = 3;x = - 2\end{array} \right.$.
-Vì x + y > 0 nên (4) không thỏa mãn.
Vậy hệ có hai nghiệm.

Bài 3. (Đề thi TS cũ) Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}1 + {x^3}{y^3} = 19{x^3}{\rm{ (1)}}\\y + x{y^2} = - 6{x^2}{\rm{ (2)}}\end{array} \right.$

Giải​

Nếu x=0, (1) trở thành 1=0, vô lí. Vậy x khác 0. Nhân hai vế của (1) với 6, hai vế của (2) với 19x ta được: $\left\{ \begin{array}{l}6 + 6{x^3}{y^3} = 114{x^3}{\rm{ }}\\19xy + 19{x^2}{y^2} = - 114{x^3}{\rm{ }}
\end{array} \right.$
Cộng vế với vế ta được: $6{x^3}{y^3} + 19{x^2}{y^2} + 19xy + 6 = 0$, giải phương trình bậc ba này ta được $xy = - \frac{2}{3};xy = - \frac{3}{2};xy = - 1.$
-Nếu xy = - 2/3 thì $(1) \Leftrightarrow 1 - \frac{8}{{27}} = 19{x^3} \Leftrightarrow x = \frac{1}{3} \Rightarrow y = - 2.$
-Nếu $xy = - \frac{3}{2},(1) \Leftrightarrow 1 - \frac{{27}}{8} = 19{x^3} \Leftrightarrow x = - \frac{1}{2} \Rightarrow y = 3$
-Nếu $xy = - 1,(1) \Leftrightarrow x = 0,$ vô lí.

Bài 4. (HSG QG 1996) Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {3x} (1 + \frac{1}{{x + y}}) = 2{\rm{ (1)}}\\\sqrt {7y} (1 - \frac{1}{{x + y}}) = 4\sqrt 2 {\rm{ (2)}}\end{array} \right.$

Giải​

Điều kiện x ≥ 0 và y ≥ 0
Dễ thấy x=0 hoặc y=0 không thõa mãn hệ. Với x>0, y>0 ta có
$\left\{ \begin{array}{l}1 + \frac{1}{{x + y}} = \frac{2}{{\sqrt {3x} }}\\1 - \frac{1}{{x + y}} = \frac{{4\sqrt 2 }}{{\sqrt {7y} }}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 = \frac{1}{{\sqrt {3x} }} + \frac{{2\sqrt 2 }}{{\sqrt {7y} }}\\\frac{1}{{x + y}} = \frac{1}{{\sqrt {3x} }} - \frac{{2\sqrt 2 }}{{\sqrt {7y} }}\end{array} \right. \Rightarrow \frac{1}{{x + y}} = \frac{1}{{3x}} - \frac{8}{{7y}}$( nhân vế với vế)
$\Rightarrow 21xy = (7y - 24x)(x + y) \Rightarrow 24{x^2} + 38xy - 7{y^2} = 0 \Rightarrow y = 6x$ (vì x, y dương).
Thay vào phương trình (1) ta được $\frac{1}{{7x}} - \frac{2}{{\sqrt 3 }}.\frac{1}{{\sqrt x }} + 1 = 0 \Leftrightarrow \frac{1}{{\sqrt x }} = 7\left( {\frac{1}{{\sqrt 3 }} \pm \frac{2}{{\sqrt {21} }}} \right).$ Từ đó suy ra x và y.

2. Phương pháp đặt ẩn phụ
Một số phương trình sau khi nhân hoặc chia hai vế cho cùng một biểu thức khác không hoặc bằng một số động tác tách và ghép khéo léo ta làm xuất hiện các đại lượng mà nhờ cách đặt ẩn phụ ta có thể đưa hệ phức tạp về một hệ đơn giản, quen thuộc.

Bài 5. Giải hệ phương trình: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} + {y^2} + xy + 1 = 4y{\rm{ (1)}}}\\{y{{(x + y)}^2} = 2{x^2} + 7y + 2{\rm{ (2)}}}\end{array}} \right.$

Giải​

Nhận thấy y=0 không thỏa mãn hệ. Với y khác không, chia cả hai vế của (1) và (2) cho y ta được: $\left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^2} + 1}}{y} + x + y = 4\\{(x + y)^2} = 2\frac{{{x^2} + 1}}{y} + 7\end{array} \right.$.
Đặt $\left\{ \begin{array}{l}a = x + y\\b = \frac{{{x^2} + 1}}{y}\end{array} \right.$ ta được .
Từ đây ta tìm được x và y.

Bài 6. Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}y + x{y^2} = 6{x^2}{\rm{ (1)}}\\1 + {x^2}{y^2} = 5{x^2}{\rm{ (2)}}\end{array} \right.$

Giải​

Nhận thấy x = 0 không thỏa mãn hệ. Chia cả hai vế của (1) và (2) cho x$^2$ ta được hệ $\left\{ \begin{array}{l}\frac{y}{{{x^2}}} + \frac{{{y^2}}}{x} = 6\\\frac{1}{{{x^2}}} + {y^2} = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{y}{x}\left( {\frac{1}{x} + y} \right) = 6\\{\left( {\frac{1}{x} + y} \right)^2} - 2\frac{y}{x} = 5\end{array} \right.$.
Đến đây ta đặt $\left\{ \begin{array}{l}S = \frac{1}{x} + y\\P = \frac{y}{x}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}P.S = 6\\{S^2} - 2P = 5\end{array} \right.$.
Giải hệ này ta tìm được S và P, từ đó ta tìm được x và y.

Bài 7. Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}(x + y)\left( {1 + \frac{1}{{xy}}} \right) = 5\\({x^2} + {y^2})\left( {1 + \frac{1}{{{x^2}{y^2}}}} \right) = 49\end{array} \right.$

Giải​

Trước hết ta thấy hệ này có dạng quen thuộc là hệ đối xứng loại 1, tuy nhiên nếu đặt ẩn phụ theo tổng và tích như cách thông thường ta sẽ gặp một hệ khó, phức tạp và không có nghiệm đẹp. Nhưng sau khi đặt điều kiện và khai triển ra ta được
$\left\{ \begin{array}{l}x + \frac{1}{y} + y + \frac{1}{x} = 5\\{x^2} + \frac{1}{{{y^2}}} + {y^2} + \frac{1}{{{x^2}}} = 49\end{array} \right.$, và nếu đặt $\left\{ \begin{array}{l}x + \frac{1}{x} = a\\y + \frac{1}{y} = b\end{array} \right.$ thì ta được $\left\{ \begin{array}{l}a + b = 5\\{a^2} + {b^2} = 53.\end{array} \right.$ Đến đây ta có một hệ quen thuộc.

Bài 8. (KA - 2008) Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + y + {x^3}y + x{y^2} + xy = - \frac{5}{4}\\{x^4} + {y^2} + xy(1 + 2x) = - \frac{5}{4}\end{array} \right.$
Giải
Hệ đã cho tương đương với $\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + y + xy({x^2} + y) + xy = - \frac{5}{4}\\{({x^2} + y)^2} + xy = - \frac{5}{4}\end{array} \right.$.
Đặt $\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + y = a\\xy = b\end{array} \right.$ ta được hệ mới $\left\{ \begin{array}{l}a + ab + b = - \frac{5}{4}\\{a^2} + b = - \frac{5}{4}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = - \frac{5}{4} - {a^2}\\a - \frac{5}{4}a - {a^3} - \frac{5}{4} - {a^2} = - \frac{5}{4}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^3} + {a^2} + \frac{a}{4} = 0\\b = - \frac{5}{4} - {a^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 0,b = - \frac{5}{4}\\a = - \frac{1}{2};b = - \frac{3}{2}\end{array} \right.$
Từ đó ta tìm được x, y.

3. Phương pháp thế
Nhiều phương trình sau khi rút một ẩn (hoặc một biếu thức) từ phương trình này thế vào phương trình kia ta được một phương trình đơn giản hoặc nhờ đó mà ta có cách biến đổi về một hệ đơn giản. Ta thường áp dụng cách này với các hệ mà ta quan sát thấy một phương trình nào đó của hệ mà một ẩn chỉ có nhất hoặc ở cả hai phương trình của hệ có cùng một biểu thức chung nào đó.

Bài 9. (HSG QG – 2001) Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {7x + y} + \sqrt {2x + y} = 5{\rm{ (1)}}\\\sqrt {2x + y} + x - y = 2{\rm{ (2)}}\end{array} \right.$

Giải​

Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l}7x + y \ge 0\\2x + y \ge 0\end{array} \right.$, từ (2) ta suy ra , thế vào (1) ta được
$\sqrt {7x + y} = 3 + x – y$. Do đó ta có hệ
$\left\{ \begin{array}{l} - 3 \le x - y \le 2\\7x + y = 9 + {x^2} + {y^2} + 6x - 2xy - 6y\\2x + y = 4 + {y^2} + {x^2} + 4y - 4x - 2xy\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 3 \le x - y \le 2\\
x = 2y - 1\\{y^2} - 11y + 10 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = y = 1\\x = 19;y = 10.\end{array} \right.$
Dễ thấy nghiệm x = y = 1 thỏa mãn hệ còn nghiệm kia thì không.

Bài 10. (KS-THPT Chuyên VP) Giải hệ phương trình
$\left\{ \begin{array}{l}4\left( {{x^2} + {y^2}} \right) + 4xy + \frac{3}{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}} = 7\\2x + \frac{1}{{x + y}} = 3\end{array} \right.$

Giải​

Điều kiện: x + y ≠ 0
Phương trình thứ nhất tương đương với $3{(x + y)^2} + 6 + \frac{3}{{{{(x + y)}^2}}} + {(x - y)^2} = 13 \Leftrightarrow 3{\left( {x + y + \frac{1}{{x + y}}} \right)^2} + {(x - y)^2} = 13{\rm{ (*)}}$
Từ phương trình thứ hai ta suy ra $\frac{1}{{x + y}} = 3 - 2x$, thế vào phương trình (*) ta được $3{(x + y + 3 - 2x)^2} + {(x - y)^2} = 13 \Leftrightarrow 4{(x - y)^2} - 18(x - y) + 14 = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
x - y = 1\\x - y = 7\end{array} \right.$
Từ đây và phương trình thứ hai của hệ ta tìm được các nghiệm x và y.

Bài 11. (HSG QG – 2004) Giải hệ phương trình:
$\left\{ \begin{array}{l}{x^3} + 3x{y^2} = - 49{\rm{ (1)}}\\{x^2} - 8xy + {y^2} = 8y - 17x{\rm{ (2)}}\end{array} \right.$

Giải ​

Với hệ này, cả hai ẩn và ở hai phương trình đều khó có thể rút ẩn này theo ẩn kia. Tuy nhiên, nếu rút y$^2$ từ (2) và thế vào (1) thì ta được một phương trình mà ẩn y chỉ có bậc 1: ${x^3} + 3x( - {x^2} + 8xy + 8y - 17x) = - 49 \Leftrightarrow 24xy(x + 1) = 2{x^3} + 2{x^2} + 49{x^2} - 49{\rm{ (3)}}$
-Nếu x=0 thì (1) vô lí.
-Nếu x=-1 thì hệ trở thành ${y^2} = 16 \Rightarrow y = \pm 4$.
-Nếu x ≠ - 1 và x ≠ 0 thì từ (3) suy ra $y = \frac{{2{x^2} + 49x - 49}}{{24x}}$. Thế trở lại phương trình (2) ta được
${x^2} - 8x.\frac{{2{x^2} + 49x - 49}}{{24x}} + {\left( {\frac{{2{x^2} + 49x - 49}}{{24x}}} \right)^2} = \frac{{2{x^2} + 49x - 49}}{{3x}} - 17x$
$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{{{x^2}}}{3} + {\left( {\frac{{2{x^2} + 49x - 49}}{{24x}}} \right)^2} = \frac{{ - 49}}{{3x}} \Leftrightarrow 192{x^4} + {(2{x^2} + 49x - 49)^2} = - 49.192x\\ \Leftrightarrow 196{x^4} + 196{x^3} + 2205{x^2} + 4606x + 2401 = 0 \Leftrightarrow 196{x^3} + 2205x + 2401 = 0\\
\Leftrightarrow 196{x^3} + 196 + 2205x + 2205 = 0 \Leftrightarrow 196{x^2} - 196x + 2401 = 0
\end{array}$
Phương trình cuối cùng vô nghiệm, chứng tỏ hệ chỉ có hai nghiệm (-1;4) và (-1;-4).

Không phái lúc nào ta cũng may mắn khi áp dụng phương pháp ‘‘ thế đến cùng’’ như vậy, chẳng hạn như gặp phương trình bậc 4 mà không nhẩm được nghiệm như bài toán sau :

Bài 12. Giải hệ phương trình : $\left\{ \begin{array}{l}{b^2} - 2bc + 2c + 4 = 0{\rm{ (1)}}\\{b^2} - {c^2} - 2b + 2c - 3 = 0{\rm{ (2)}}\end{array} \right.{\rm{ }}$
Giải
Rõ ràng phương trình đầu có bậc nhất đối với b và c, điều đó gợi ý cho ta rút một ẩn từ phương trình này và thế vào phương trình kia. Tuy nhiên sau khi rút gọn ta được một phương trình bậc 4 mà nghiệm lẻ. Ở đây ta cần một kĩ năng tách khéo léo hơn :
Ta có $(1) \Leftrightarrow 2c(b - 1) = {b^2} + 4 \Leftrightarrow 2c(b - 1) = {b^2} - 2b + 1 + 2b - 2 + 5$, rõ ràng b=1 không thỏa mãn, với b ≠ 1 suy ra $2c = b - 1 + 2 + \frac{5}{{b - 1}}$, thế vào (2) ta được
$\begin{array}{l}4{b^2} - 8b + 4 = 4{c^2} - 8c + 16 \Leftrightarrow 4{(b - 1)^2} = {(2c - 2)^2} + 12\\
\Leftrightarrow 4{(b - 1)^2} = {\left[ {(b - 1) + \frac{5}{{b - 1}}} \right]^2} + 12 \Leftrightarrow 3{(b - 1)^4} - 22{(b - 1)^2} - 25 = 0\\ \to \left[ \begin{array}{l}b = \frac{{5 + \sqrt 3 }}{{\sqrt 3 }};c = \frac{{4 + \sqrt 3 }}{{\sqrt 3 }}\\b = \frac{{\sqrt 3 - 5}}{{\sqrt 3 }};c = \frac{{\sqrt 3 - 4}}{{\sqrt 3 }}.\end{array} \right.
\end{array}$

Hệ phương trình này xuất hiện khi ta giải bài toán hình học phẳng: Trong hệ tọa độ Oxy cho điểm A(1 ;2), đường thẳng Δ: y=3. Tìm điểm B thuộc Δ và điểm C thuộc Ox sao cho tam giác ABC đều.

4. Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số
Để vận dụng phương pháp này ta cần đến một tính chất quan trọng sau đây: Nếu hàm số f(x) đơn điệu và liên tục trên khoảng (α; β) thì phương trình f(x)=0 có nghiệm duy nhất trên khoảng (α; β), hơn nữa f(a)=f(b) khi và chỉ khi a=b.

Bài 13. (HSG K12 Đồng Nai) Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}{x^5} + x{y^4} = {y^{10}} + {y^6}{\rm{ (1)}}\\\sqrt {4x + 5} + \sqrt {{y^2} + 8} = 6{\rm{ (2)}}\end{array} \right.$
Giải
Điều kiện: x ≥ - 5/4
Nếu y=0 thì từ phương trình (1) ta suy ra x=0, thế vào phương trình (2) ta thấy không thỏa mãn, vậy y khác 0. Đặt x=ky ta được (1) trở thành ${k^5}{y^5} + k{y^5} = {y^{10}} + {y^6} \Leftrightarrow {k^5} + k = {y^5} + y$ (3). Xét hàm số $f(t) = {t^5} + t$ trên R, ta có $f'(t) = 5{t^4} + 1 > 0\forall t \in R.$
Do đó f(t) là hàm số đồng biến trên R, vậy $(3) \Leftrightarrow f(k) = f(y) \Leftrightarrow k = y \Rightarrow x = {y^2}.$
Thế vào (2) ta được $\begin{array}{l}\sqrt {4x + 5} + \sqrt {x + 8} = 6 \Leftrightarrow 5x + 13 + 2\sqrt {4{x^2} + 37x + 40} = 36 \Leftrightarrow 2\sqrt {4{x^2} + 37x + 40} = 23 - 5x\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}23 - 5x \ge 0\\16{x^2} + 148x + 160 = 25{x^2} - 230x + 529\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5x \le 23\\9{x^2} - 378x + 369 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 41\end{array} \right.\end{array}$
Suy ra x = 1 và do đó y = ± 1.

Bài 14. (KS khối 12 chung đợt 1 năm học 2011-2012, THPT Yên Lạc)
Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}2\sqrt {{x^2} + 5} = 2\sqrt {y - 1} + {y^2}{\rm{ (1)}}\\2\sqrt {{y^2} + 5} = 2\sqrt {x - 1} + {x^2}{\rm{ (2)}}\end{array} \right.$

Giải​

ĐK x ≥ 0, y ≥ 0. Ta thấy đây là một hệ đối xứng loại 2, nên trừ vế cho vế và biến đổi ta được:

$2\sqrt {{x^2} + 5} + 2\sqrt {x - 1} + {x^2} = 2\sqrt {{y^2} + 5} + 2\sqrt {y - 1} + {y^2}$ (3)​

Xét hàm số $f(t) = 2\sqrt {{t^2} + 5} + 2\sqrt {t - 1} + {t^2}$ trên [1; + ∞), dễ thấy f’(t)>0 trên (1; + ∞) nên f(t) đồng biến trên [1; + ∞) và do đó (3) tương đương với x=y.
Thế vào (1) ta được $2\sqrt {{x^2} + 5} = 2\sqrt {x - 1} + {x^2}$.
Giải bằng MTCT ta được x=2. Do đó ta biến đổi như sau $\begin{array}{l}2\sqrt {{x^2} + 5} - 6 = 2\sqrt {x - 1} - 2 + {x^2} - 4 \Leftrightarrow 2\frac{{{x^2} - 4}}{{\sqrt {{x^2} + 5} + 3}} = 2\frac{{x - 2}}{{\sqrt {x - 1} + 1}} + (x - 2)(x + 2)\\ \Leftrightarrow \left [ \begin{array}{l}x = 2\\\frac{{2(x + 2)}}{{\sqrt {{x^2} + 5} + 3}} = \frac{2}{{\sqrt {x - 1} + 1}} + x + 2{\rm{ }}(4)\end{array} \right.\end{array}$
Phương trình (4) có VP > 3, VT < 2 nên (4) vô nghiệm. Vậy hệ có nghiệm x=y=2.

Bài 15. (KA-2010) Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}(4{x^2} + 1)x + (y - 3)\sqrt {5 - 2y} = 0\\4{x^2} + {y^2} + 2\sqrt {3 - 4x} = 7\end{array} \right.$

Giải​

ĐK: x ≤ 3/4. Đặt u = 2x; $y = \sqrt {5 - 2y} $
Phương trình (1) trở thành u(u2 + 1) = v(v2 +1) → (u - v)(u2 + uv + v2 + 1) = 0 → u = v
Nghĩa là: $2x = \sqrt {5 - 2y} \leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
0 \le x \le \frac{3}{4}\\y = \frac{{5 - 4{x^2}}}{2}\end{array} \right.$
Thế vào (2) ta được: $\frac{{25}}{4} - 6{x^2} + 4{x^4} + 2\sqrt {3 - 4x} = 7\left( * \right)$
Xét hàm số $f\left( x \right) = \frac{{25}}{4} - 6{x^2} + 4{x^4} + 2\sqrt {3 - 4x} $ trên [0; 3/4]
$f'\left( x \right) = 4x\left( {4{x^2} - 3} \right) - \frac{4}{{\sqrt {3x - 4} }} < 0$
Mặt khác: f(1/2) = 7 nên (*) có nghiệm duy nhất x = 1/2 và y = 2.
Vậy hệ có nghiệm duy nhất x = 1/2 và y = 2.

Thực tế là các hệ phương trình dạng này có nhiều cách giải phong phú, các kĩ thuật tách cũng rất đa dạng. Trong khuôn khổ chuyên đề tôi chỉ dừng lại ở bốn kĩ năng thông dụng như trên. Tiếp theo tôi xin giới thiệu các hệ phương trình tương tự để bạn đọc có thêm nguồn tài liệu giảng dạy, học tập rất mong được tiếp tục thảo luận trao đổi về chuyên đề này cùng các thầy cô và các em học sinh.


III. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 16. $\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} - 3x + 4y = 1\\3{x^2} - 2{y^2} - 9x - 8y = 3\end{array} \right.$
Bài 17. $\left\{ \begin{array}{l}xy = 18({x^2} + {y^2}) - 38xy\\{x^2} - xy + {y^2} = 7(x - y) + 14\end{array} \right.$

Bài 18. $\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + xy - {y^2} = 5\\\frac{y}{x} - \frac{{2x}}{y} = \frac{{ - 5}}{2} - \frac{2}{{xy}}\end{array} \right.$

Bài 19. $\left\{ \begin{array}{l}y(1 + {x^2}) = x(1 + {y^2})\\{x^2} + 3{y^2} = 1\end{array} \right.$

Bài 20. $\left\{ \begin{array}{l}x(x + y + 1) - 3 = 0\\{(x + y)^2} - \frac{5}{{{x^2}}} + 1 = 0\end{array} \right.$

Bài 21. $\left\{ \begin{array}{l}xy + x + y = {x^2} - 2{y^2}\\x\sqrt {2y} - y\sqrt {x - 1} = 2x - 2y\end{array} \right.$

Bài 22. $\left\{ \begin{array}{l}xy + x + 1 = 7y\\{x^2}{y^2} + xy + 1 = 13{y^2}\end{array} \right.$

Bài 23. $\left\{ \begin{array}{l}{x^4} + 2{x^3}y + {x^2}{y^2} = 2x + 9\\{x^2} + 2xy = 6x + 6\end{array} \right.$

Bài 24. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{(4 + \frac{1}{{y + 2x}})\sqrt x = 2\sqrt 3 }\\{(4 - \frac{1}{{y + 2x}})\sqrt y = 4}\end{array}} \right.$

Bài 25. $\left\{ \begin{array}{l}81{x^3}{y^2} - 81{x^2}{y^2} + 33x{y^2} - 29{y^2} = 4\\25{y^3} + 9{x^2}{y^3} - 6x{y^3} - 4{y^2} = 24.\end{array} \right.$

Bài 26. Tìm tất cả các giá trị của tham số a sao cho hệ phương trình sau có nghiệm với mọi giá trị của tham số b: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{(a - 1).{x^5} + {y^5} = 1}\\{{e^{bx}} + (a + 1)b{y^4} = {a^2}}\end{array}} \right.$

Bài 27. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{({x^4} + y){3^{y - {x^4}}} = 1}\\{8({x^4} + y) - {6^{{x^4} - y}} = 0}
\end{array}} \right.$

Bài 28. $\left\{ \begin{array}{l}x - \frac{1}{x} = y - \frac{1}{y}\\2y = {x^3} + 1\end{array} \right.$

Bài 29. $\left\{ \begin{array}{l}2\sqrt {2x + y} = 3 - 2x - y\\\sqrt[3]{{x + 6}} + \sqrt {1 - y} = 4\end{array} \right.$

Bài 30. $\left\{ \begin{array}{l}bc - 4b - c + 2 = 0\\{b^2} - 2b = {c^2} - 8c + 18\end{array} \right.$

Bài 31. $\left\{ \begin{array}{l}y\sqrt {x - 2} + 3y - 3 = \sqrt {x - 2} \\x{y^2} + y\sqrt {x - 2} + 9 = 13{y^2}
\end{array} \right.$

Bài 32. $\left\{ \begin{array}{l}3({y^2} + y)(1 + \sqrt {x - 2} ) = x + 2\sqrt {x - 2} + 1\\2{y^2} + 2y + \sqrt {x - 2} = 2\end{array} \right.$

Bài 33. $\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 3x\sqrt {1 - 2y} - 4y + 2 = 0\\\sqrt {x - \sqrt {1 - 2y} } + x = 2.
\end{array} \right.$