SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ

I. Tính đơn điệu của hàm số
1. Nhắc lại định nghĩa
Giả sử hàm số y = f(x) xác định trên K.
• y = f(x) đồng biến trên K
<=> $\forall $x1, x2 ∈ K: x1 < x2 => f(x1) < f(x2)
<=> $\frac{{f({x_1}) - f({x_2})}}{{{x_1} - {x_2}}} > 0$, $\forall $x1,x2∈ K (x1 ≠ x2)
• y = f(x) nghịch biến trên K
<=> $\forall $x1, x2 ∈ K: x1 < x2 => f(x1) > f(x2)
<=> $\frac{{f({x_1}) - f({x_2})}}{{{x_1} - {x_2}}} < 0$, $\forall $x1,x2∈ K (x1 ≠ x2)
Nhận xét:
• Đồ thị của hàm số đồng biến trên K là một đường đi lên từ trái sang phải.
• Đồ thị của hàm số nghịch biến trên K là một đường đi xuống từ trái sang phải.

2. Tính đơn điệu và dấu của đạo hàm:
Định lí: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K.
• Nếu f'(x) > 0, $\forall x \in K$ thì y = f(x) đồng biến trên K.
• Nếu f'(x) < 0, $\forall x \in K$ thì y = f(x) nghịch biến trên K.
Chú ý:
- Nếu f'(x) = 0, $\forall x \in K$ thì f(x) không đổi trên K.
- Giả sử y = f(x) có đạo hàm trên K. Nếu f'(x) ≥ 0 (f'(x) ≤ 0), $\forall $x ∈ K và f'(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến (nghịch biến) trên K.

II. Qui tắc xét tính đơn điệu của hàm số
1. Qui tắc
Bước 1. Tìm tập xác định.
Bước 2. Tính f'(x). Tìm các điểm x$_i$ (i = 1, 2, …, n) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.
Bước 3. Sắp xếp các điểm x$_i$ theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.
Bước 4. Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số

III. VÍ DỤ VẬN DỤNG
1. Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y = 1 + 4x –x$^2$
2. Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y = 2x$^2$ -3x -1
3. Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y = x$^2$ (4 – x$^2$)
4. Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y = x$^4$ – 2x$^3$ + 2x +1
5. Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y = $\frac{1}{3}{x^3} - 3{x^2} + 8x - 2$
6. Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số $y = \frac{{x - 2}}{{x + 2}}$
7. Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số $y = \frac{{{x^2} - x + 2}}{{2 - x}}$
8. Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số $y = \frac{x}{{{x^2} + 1}}$
9. Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số $y = \frac{1}{{{x^2} - 4x + 3}}$
10. Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số $y = \frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{2{x^2} + x - 1}}$
11. Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số $y = - 2x + 4\sqrt {{x^2} + 1} $
12. Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số $y = - x + 2\sqrt {{x^2} + 4} $
13. Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y = 3x$^2$ – 8x$^3$
14. Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y = x$^3$ – 6x$^2$ + 9x
15. Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y = 16x + 2x$^2$ – $\frac{{16}}{3}$x$^3$ – x$^4$
16. Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y = x$^4$ + 8x$^2$ + 5
17. Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số $y = \frac{{x - 2}}{{{x^2} + x + 1}}$
18. Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số $y = \sqrt x (x - 1),(x > 0)$
19. Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số $y = \frac{{3 - 2x}}{{x + 7}}$
20. Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số $y = \frac{{2x}}{{{x^2} - 9}}$
21. Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số $y = \frac{{{x^2} - 2x + 3}}{{x + 1}}$
22. Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số $y = \frac{{{x^2} - 5x + 3}}{{x - 2}}$
23. Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số $y = \sqrt {25 - {x^2}} $
24. Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số $y = \frac{{\sqrt x }}{{x + 100}}$
25. Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số $y = \frac{1}{2}{x^4} + {x^3} - x + 5$
26. Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số $y = \frac{3}{4}{x^4} - 2{x^3} + \frac{3}{2}{x^2} - 6x + 11$
27. Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số $y = {x^3} - \frac{4}{5}{x^5} + 8$
28. Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số $y = 9{x^7} - 7{x^6} + \frac{7}{6}{x^5} + 12$
29. Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số $y = \frac{1}{2} - \frac{1}{{x - 2}}$
30. Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số $y = \frac{{x + 1}}{{3\sqrt x }}$